2015年5月10日日曜日

放物線の極と極線の問題




放物線の極点と極線の関係を求める問題では、複素数平面は使わないこと。

【問1】
 放物線y=xの外側の点W(極)から放物線に引いた接線の接点をAとBとする。接点AとBを結ぶ直線(極線)の方程式を求めよ。

【解】
 この解は、以下のようにして解けます。
 この解き方を複素数平面を使って行うと計算が複雑になってしまいますので、複素数平面は使わないようにしましょう。
(注意)上で得られた式が点Aでの接線の公式であると教えられていますが、この結果を公式として覚えるよりは、上の赤枠で囲った、「接線の公式」を導出する過程の方をしっかり覚えて下さい。

 計算を続けます。
 これで、接点A,Bを結ぶ直線の方程式が得られました。

 こうして、極点Wに対する放物線の極線の方程式がスムーズに求められました。

 しかし、この計算を複素数平面で行なおうとすると、この計算の単純さが失われてしまいます。
 この問題を解くためには、複素数平面は適さないので複素数平面は使わないようにしましょう。

【問2】
 直線y=sx+tと放物線y=xの交点A,Bから放物線の接線を引いたとき、その2つの接線の交点W(極点)を求めよ。

【解】
 この問題は、以下のように解くと楽だと思います。
(複素数平面は使わないこと)
以上のようにして、スムーズに、
極点Wの座標が極線の式のパラメータであらわせました。

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