2017年4月20日木曜日

楕円と双曲線と放物線の接線の公式を覚える

「微分・積分」の勉強
【研究】
 高校3年で学ぶ楕円の接線の式を含めた、
楕円と双曲線と放物線の接線の式は、
以下の(大学で学ぶ)微分の計算によって導くことができる。

【楕円の接線】
楕円 x/a+y/b=1 (式1)です。

 楕円の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。
この式3が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。
z=1の場合が、通常のxy座標系での接線の式です。
 この式6が楕円の接線の式です。

【双曲線の接線】
 双曲線の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。
この式3が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。
 z=1の場合が、通常のxy座標系での接線の式です。
 この式5が双曲線の接線の式です。

【放物線の接線】
 放物線の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。
この式3が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。
 z=1の場合が、通常のxy座標系での接線の式です。
 この式6が放物線の接線の式です。

 このようにして接線の式を導き出すことを覚えたら、このやりかたで直ぐ接線の公式を導き出すことができるようになるので、各図形の接線の公式を覚えないでも良くなり便利です。

リンク:
高校数学の目次


2017年4月17日月曜日

高次式の因数分解

【問題】 以下の5つの高次多項式を因数分解した式がある。
それぞれの式について、その式が成り立つ事を示せ。
(式5の解き方については、ここをクリックした先のページに解答を書きました)

(コメント)この問題は、
「代数入門 (現代数学への入門) 」(上野 健爾(著)岩波書店)
から引用しました。

  「代数入門 (現代数学への入門) 」の本の前半は高校数学を教えていますので、前半は高校生が読めます。後半は大学生向けですが、高校生でも十分に数学を研究したい学生は大学入学を待たずに読んで良いと思います。
 後半の内容は、「群論」が説明されています。

(本ブログによるエピソード)

 1830年代、エヴァリスト・ガロアが初めて、代数方程式の可解性の判定に、群を導入した。
ガロアが執筆した論文が不運によって2度も紛失した。 その後、ガロアは、デモ活動で逮捕され、禁固6ヵ月の刑を受けた。刑期の仮出所の間に、決闘によって死んだ。(21歳)
不良学生であったが、彼の代数学が、もっと正当に扱われていたら、結果は大分変っていたのではないかと悔やまれる若き天才だった。


リンク:
高校数学の目次

2017年4月16日日曜日

平方根の式を多項式に変換する

【問題1】 以下の二次方定式1が成り立つとき、平方根の式2を普通の多項式であらわせ。

【解答】
式1を変形する。
(解答おわり)

(コメント)
 この計算以外の方法では、以下の計算のように、
(1)式1を解いてαを求めて、
(2)その値を√αに代入することで二重根号の式を求め、
(3)その二重根号を外して答えを求めることもできる。
 それに対して、上の解答の式の計算では、
(1)途中の式3の左辺のαの係数の二乗根が二重根号にならないので、式4に二重根号が出てこない。
(2)この式4に式1で得たαを代入した値も、二重根号を使わないであらわすことができる。 
 すなわち、式4を求めてから、式1の解のαを式4に代入した値を求めることで、二重根号を外す計算をしないで答えが得られる。

 リンク:
高校数学の目次

2017年4月11日火曜日

平方根の式を多項式に変換する問題

【問題1】 以下の式1が成り立つとき、平方根の式2を普通の多項式であらわせ。

【解答】
式2を変形する。
この式の各因数を式1を使って計算する。
(A)先ず、(α+2)を計算する。
 式1を(α+2)で割り算した式を作り、変形することで(α+2)をあらわす以下の式4を計算する。
(B)次に、(α-2)を計算する。
 式1を(α-2)で割り算した式を作り、変形することで(α-2)をあらわす以下の式5を計算する。
式4と式5を式3に代入する。
以上の計算で根号を外すことができた。

次に、この分数式を普通の多項式に変換する。

(C)先ず、1/(α-1)を計算する。
 式1を(α-1)で割り算した式を作り、変形することで1/(α-1)をあらわす以下の式7を計算する。
(D)次に、1/(α+1)を計算する。
 式1を(α+1)で割り算した式を作り、変形することで1/(α+1)をあらわす以下の式8を計算する。
式7と式8を式6に代入する。
(解答おわり)

【解答のブラッシュアップ】
 先の解答は、計算の発想順が明確で良い解答だと思います。しかし、計算の手順に無駄がありました。
式4を導く計算部分を以下のように変えると、分数式を経由せずに解答することができます。
そのようにして、解答を書き直すと、
以下のように解答できます。

(解答はじめ)
問題の式2を変形する。
この式の各因数を式1を使って計算する。
(A)先ず、(α+2)を計算する。
 式1を(α+2)で割り算した式を作り、変形することで(α+2)をあらわす以下の式10を計算する。
(B)次に、(α-2)を計算する。
 式1を(α-2)で割り算した式を作り、変形することで(α-2)をあらわす以下の式11を計算する。
 式10と式11を式3に代入する。

(解答おわり)

次に、この問題をより一般化した問題を解く。
【問題2】 以下の式1が成り立つとき、平方根の式2を普通の多項式であらわせ。

【解答】
問題の式2を変形する。
この式の各因数を式1を使って計算する。
(A)先ず、(α+2)を計算する。
 式1を(α+2)で割り算した式を作り、変形することで(α+2)をあらわす以下の式4を計算する。
(B)次に、(α-2)を計算する。
 式1を(α-2)で割り算した式を作り、変形することで(α-2)をあらわす以下の式5を計算する。
式4と式5を式3に代入する。
 計算をここで終えた方が答えの式が簡易な式になる。
(解答おわり)

(補足)
上の計算で、式4から6までの計算を以下の式7から9までの計算に変えた方が、より簡単な式で答えをあらわすことができると考える。
(A)先ず、(α+2)を計算する。
(B)次に、(α-2)を計算する。

式7と式8を式3に代入する。
(解答おわり)

 リンク:
高校数学の目次

2017年4月10日月曜日

分数式を多項式に変換する問題

【問題】 以下の式1が成り立つとき、分数式2を普通の多項式であらわせ。

【解答】
式1を(α+1)で割り算した以下の式3を計算する。
この式3を使って、式2の分子の値1を(α+1)の倍数の式に置き換える。
(解答おわり) 
 
リンク:
高校数学の目次