2016年12月31日土曜日

最初に戻る確率の入試問題8

【問1】(難問)
「一つのサイコロを振り,出た目が4以下ならばAに1点を与え,5以上ならばBに1点を与える」 
という試行を繰り返す。
(1)AとBの得点差が2になったところでやめて得点の多い方を勝ちとする.n回以下の 試行でAが勝つ確率pを求めよ。
(1992 一橋大)

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2016年12月29日木曜日

自然数の数の入試問題7

【問1】
3桁の自然数のうち、5の数字を1回以上用いている奇数の数を求めよ。
(神奈川大・経)

解答はここをクリックした先にあります。
(数え間違いをしないための工夫も書きましたので、問題を解いた後で、参考に解答を見ておいてください)

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模様数と確率分の積を考える確率の入試問題5

【問1】
赤玉3個と白玉7個が入っている袋から無作為に1個を取り出し、 色を確認してから袋に戻す操作を30回繰り返すとき、 赤玉を何回取り出す確率が最も大きいか答えよ。
(2013年 武庫川女子大)

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2016年12月28日水曜日

模様内模様を考える確率の入試問題6

【問1】(難問)
さいころをn個同時に投げるとき、出た目の数の和がn+3になる確率を求めよ。
(2006年 京都大学)

この問題の解答はここをクリックした先にあります。
(この問題は、できた!と思っても完全な答えでは無いことがありますので、解答を参考にして、注意深く問題を解く心構えを整えてください)

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2016年12月27日火曜日

空試行を考える確率の入試問題4

【問1】(難問)
中の見えない袋の中に同じ大きさの白球3個、赤球2個、黒球1個が入っている。
この袋から1球ずつ球を取り出し、黒球を取り出したときに袋から球を取り出すことをやめる。
ただし、取り出した球はもとに戻さない。
この試行を行なうとき、以下の問いに答えよ。
(1)取り出した球の中に、赤球がちょうど2個含まれる確率を求めよ。

(2006年 大阪府立大)

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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空試行を考える確率の入試問題3

【問1】
1個のサイコロを振るという試行を繰り返す。
奇数の目が連続して3回出るか偶数の目が通算して4回出たら試行を終了するものとする。
(1)この試行が6回以下で終了する確率を求めよ。
(2)この試行がちょうど7回で終了する確率を求めよ。
(2003年 上武大)


この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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2016年12月26日月曜日

余事象の確率の入試問題2

【問1】
1つのさいころを投げ続けて、同じ目が2回連続して出たら終了するものとする。
4回目以内(4回目も含む)に終了する確率を求めよ。

(2006年 北大)

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。


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全部の場合を数え上げる確率の入試問題1

【問1】(難問)
箱の中に、1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードが入っている。
ただし、異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。
この箱から2枚のカードを同時に選び、小さいほうの数をXとする。
これらのカードを箱に戻して、
再び2枚のカードを同時に選び、小さいほうの数をYとする。
X=Yである確率を求めよ。
(2011年 京都大)

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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2016年12月20日火曜日

外心の高さの式のベクトルでの証明



大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問1】 
 上の三角形において、上のベクトルの内積の式が成り立つことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
一番簡単な解答は、ここをクリックした先のページに在ります。

 初めから与えられている式を証明する問題は、新しく式を見出す場合とは異なり、問題が易しくなります。

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2016年12月18日日曜日

ベクトルによる円周角の定理の確認



大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問】下図のように三角形ABCと外接円の中心Dがある。この三角形の頂点Aが外接円上を移動しても頂角Aの角度が変わらないこと(円周角の定理)を確認せよ。
(注意)円周角の定理の方がベクトル計算の種々の定理の基礎になっていて、ベクトル計算は円周角の定理等の結果と考えます。そのため、ベクトル計算では、円周角の定理を確認できても、証明ではないと考えます。

【一番簡単な確認】
ベクトルの計算で外心の高さが式1で与えられる。
そして、
ベクトルの計算で外接円の半径Rは式2で与えられる。
式1と式2を使うと、


この式3により、頂点Aが移動しても右辺の値が変わらない。これは、式3の左辺に余弦であらわされている角度Aが変わらないことを意味する。
(確認おわり)

(補足)
 この式3の関係は、ベクトルだけを使って式1を導き出し、次に、ベクトルだけを使って式2を導き出したことでようやく導き出された関係です。しかし、式3は、高校1年で円周角の定理を図形で証明する過程で、図形の関係から容易に導き出されます。
 問題を楽に解くという観点では、高校1年での図形の証明による方法が一番楽です。そのため、ベクトルの係わる問題が出題されても、許される限りは、高校1年での図形の証明方法を使うようにしましょう。

【苦労する解き方】
 この円周角の定理を、準備無く解く苦労する解き方をした例を、ここをクリックした先に書きました。

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