2013年9月7日土曜日

三角形の辺と外接円の半径の関係



大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問】下図のように三角形ABCと外接円の中心Dがある。外接円の中心Dの辺BC上の高さが式(1)で与えられることがわかっている。この外接円の半径Rを計算せよ。
(注意事項)ベクトルの各成分は関係する記号に添え字をつけて、aというふうにあらわすこと。そうすれば、成分の意味が連想し易くなるからです。

【解答方針】
(1)この問題を解くには、円周角の定理に関連する定理の、∠CDB/2=∠Aを思い出して、
R・cos(∠CDB/2)=p=R・cosAとして、
R=p/cosAとしてRを計算すると最も速く答えが出せます。
(2)しかし、その関係を思い出せなかった場合でも、ベクトルを成分に分解した地道な計算をすることで答えが得られます。
以下では、そのベクトルの地道な計算例を示します。

【解答】
外接円の半径Rの二乗を以下のように計算していく。


ここで、この括弧の中の一部の式を計算する。
この結果を使って計算を続ける。
 この計算の結果R=bc/(2h)という関係が導き出せた。
(解答おわり)

(補足)
この結果から、円周角の定理に関連する定理の、p=R・cos
(∠CDB/2)=cosAという関係も示された。

【研究問題】
この関係を使って、三角形の面積をあらわす。

上記のように三角形の正弦定理が導きだされた。

先の式(1)は三角形の外接円の中心位置をベクトル方程式で計算することで得られていた。
このように、正弦定理も、ベクトルの地道な計算によって導き出すことができました。


 しかしながら、式1よりも解答の式の方が単純です。
 解答の式から式1を導き出す方が自然な計算の流れと考えられます。
 この解答の式は、正弦定理を使うと容易に証明できます。

 一方、ベクトル計算によってこの解答の式を導き出すのは難しいと考えます。
 そのことから、ベクトル計算の基礎は主に余弦定理が支えていて、正弦定理で解き易い円周角に係わる問題はベクトル計算では解きにくかったのだろうと考えます。

 すなわち、余弦定理で解き易い問題はベクトル計算で解き易いが、 正弦定理で解き易い円周角に係わる問題は正弦定理を使って解く方が良いと考えます。

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