2017年10月30日月曜日

円の外の拡張円周角の定理

 【円の外の拡張円周角】
上図のように、円周角Aと同じ角の、
円の外の角
∠BDEと
∠CDF
が、拡張円周角です。
これらの拡張円周角を
すぐ想像できるように、
この「円の外の拡張円周角の定理」
をよく覚えてください。

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2017年10月29日日曜日

角の二等分線の長さ-相似図形による定理の証明

以下の問題は、「相似図形同士で辺の比が等しい公式」を適用する問題です。
 【問1】 (難問)
上図のように、三角形ABCの頂角Aの二等分線の長さmに間して式1が成り立つことを証明しなさい。

(注意)
 この問題は、「角の二等分線の長さの定理」であり、有名な定理ですが、その証明を見たことの無い学生にはかなりな難問です。以下の理由により、有名定理だからと言って安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で証明してから解答を見てください。

(解けるまで解答を見ない理由)
 この定理よりも覚え易い定理に中線定理があります。
しかし、高校入試問題を見ると、
その中線定理を使うよう誘導している入試問題が、その誘導にもかかわらず、中線定理を使わないでも解けるようにした問題を出題しています。
 その出題高校の意図を推測すると、
「単にいろいろな定理を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があるように考えられます。

 そのため、この「角の二等分線の長さの定理」を学ぶ目的は、
この定理を証明しようとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第1の目的にするのが良いと考えます。

 そのため、この定理を自力で証明するまでは解答を見ずに、知能ホルモンの分泌を続けるのが良いと考えます。

(解答の方針) 
 辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
 この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
(1)図の不足を埋めて図を完成させてから、
(2)相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月28日土曜日

想像力を使う角度連動公式

【角度連動公式】
上図で、
∠AMB=∠EOF
とすると、
∠OAM=∠FMB
になることが、
以下の図を想像することで分かる。
先ず、
∠AMB=∠EOF
である2つの角AMBと角EOBが
同じ位置に重なって
点M=点O
となっている場合を想像する。

次に、
点Mが点Oからわずかにずれた場合の上図を想像する。

上図を想像すると、
わずかな角度の
∠OAM

∠FMB
が連動して生まれることが想像できます。

これらの、連動して生まれる角度は、以下の様に生まれる。
∠AMBの値を∠EOFに等しい一定の角度に維持するために、
線分AMと線分MBが連動して同じ角度だけ回転する。

その線分AMとMBの連動した回転に由来して、
∠OAM=∠FMB
になる。
(角度連動公式)

(補足)
 このように、連動する角度を想像することで、
連動して生まれる角度が等しいことが素早く把握できます。

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2017年10月27日金曜日

二重相似の公式と折り返し図形の点の位置

【公式】
上式のように、X軸に原点Oと点Aがある。
OA=s
である。
X軸から離れた位置の点BからX軸へ下ろした垂線のX軸上への足をCとする。そして、
AC=1,
BC=a
とする。
線分ABの延長線DAを折り目線にして原点Oに頂点を持つ図形(三角形OAD)を折り返すことでO点の位置の頂点をF点に移す。
線分OFとDAの交点をEとする。
点EのX軸へ下ろした垂線の足をGとする。
そのとき、
となることを証明せよ。
(二重相似の公式)

(解説)
 この二重相似の公式によって、
原点Oの位置の頂点を折り返した点Fの位置座標が、
で計算できる。
 二重相似の公式によって、頂点Oを折り返した位置Fの座標を計算する式の分母がcの二乗になっている。
これにより、cを計算するための根号が解消して、式が簡単になっている。

この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月25日水曜日

平行線と線分の比の問題

【問1】
上図のように、AB=10,AD=6,∠ABC<90°である平行四辺形ABCDにおいて、∠DABの二等分線と辺BCのCの方へ延長した直線との交点をEとする。線分AEと対角線BD,辺CDとの交点をそれぞれF,Gとする。
GE=3のとき、線分FGの長さ x を求めなさい。

(注意)
 この問題はややこしそうですので、解答の優先順位が一番後回しになって、解答されない場合が多いようです。
そのややこしさは、
「水平線上の点の高さの比の公式」
を使って問題を解くと、大分解消されますので、
その方法を試みてください。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月23日月曜日

ラングレーの難問

以下の問題の解答は、通算14時間以上、この問題を解こうと試みた学生、又は自力で解答を得た学生が見てください。
【問】(超難問)
上図の四角形ABCDにおいて、角ACD=θを求めなさい。

(注意)
 図形問題では、
先ず、補助線を引いて足りない図形は埋め、
同じ角度に印を付けつつ、
図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。
 特に、この図形問題では、対称性が特に高い正三角形を含む対称な形の図形を完成させてから問題を解くようにしてください。

の問題の解答は、通算14時間以上、この問題を解こうと試みた学生、又は自力で解答を得た学生が見てください。
 くれぐれも、安易に解答を見ないように。
この問題を解こうとする努力によって得られる「知能向上」を受け損ねないように注意してください。

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月19日木曜日

正しい数学の勉強のしかた

正しい数学の勉強のしかた。
(1)難問を解く努力(解けないけどあきらめない)
(2)力つきて(しかたなく)眠る
このような努力をすると、
その様に勉強した後、眠って、
朝起きると、知能や感受性を上げるホルモンが夜の間に分泌されて、
朝がとても気持ち良くなります。

この繰り返しが、学生の知能を上げます。

そのため、難問が簡単にとけてしまって、
難問という、とことん努力する課題を無くしてしまって、
知能を上げるホルモンの分泌をじゃましてはいけない
と考えます。

そのため、全ての難問の簡単な解き方を教えてしまって、
何もかも簡単にしてしまってはいけない
とも考えます。

難問は解けないですが、それを解く努力を続けること。
努力の後は十分眠って知能を高めること。
そして、その努力の過程で
(まだ問題が解けていない間に)
成果として得られた「知能」を、
他の課題の勉強のためにも使う知恵が大切です。 

問題が解けていない矛盾をかかえ、
気分を変えて、その問題以外のことに取り組むことが、
成果として得られた「知能」を楽しむバランス感覚です。
(このことをよく自覚すること)

学生は自分で、何かをつかみ取る努力をすること。
そして、望んでも解答が得られない間
(すなわち、知能が高まる時)をよく自覚して、
それを省略しようとせず、
がまんして耐え、他のこともしっかり行う忍耐を養う。
それが、一番大切な勉強方法だと思います。

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2017年10月15日日曜日

公式の証明の補助線をまねて使って解く

【問1】(難問)
上の図において、円Oの半径は12で、直径ABをBD=4となるように延長した点がD、またAB⊥COである。CDと円Oの交点がEである。
このとき、弦EBの長さを求めなさい。

(注意)
 図形問題では、先ず、補助線を引いて足りない図形を埋め、同じ角度に印を付け、特に、図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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2017年10月14日土曜日

三角形の面積を3辺から計算する

【問1】
上図の三角形の面積Sを求めよ。

【問2】
上図の三角形の面積Sを求めよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
解答のページに、この種の計算を楽にする頂点を選ぶ工夫を書きましたので、問題を解いた後に、この解答ページも見てください。

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三角形の頂点からの距離の積の式と三角形の中線の長さの式の関係

以下で、三角形の頂点からの距離の積の公式(その2)と、三角形の中線の長さの公式との関係を整理します。

【中線の長さの公式(中線定理)】
上図のように、三角形ABCの辺BCの中点Mと頂点Aを結んだ中線AMの長さmに関して、上の式1が成り立つ。式1は式2の形に書き変えて使うことができる。

この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。

 この中線の長さの公式(中線定理)以外の以下の公式は、中線定理に比べて覚えにくいように思います。
 そのため、以下の公式は高校入試問題にはほとんど出ないようにも考えられます。
しかし、図形の難問を解く受験の戦いで、使える道具は多い方が安心ですので、それらも覚えてみてください。

【頂点からの距離の積の公式】
上式のように、三角形ABCの頂点Cから辺ABへ垂直に引いた線との交点Hに関する線分の積が以下の式であらわされる。
AH×AB=m-s

この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。

一方、中点の長さの公式は:
(b+c)/2=m+s 
である。

これらから、AHが以下の通り計算できる。
三角形の頂点Cの辺AB上への足Hまでの長さAH
がこの式であらわされることは、
以下の公式でもあった。

【三角形の頂点の足の位置の公式】
上図の三角形ABCの頂点Aの左右へのずれを計算する上の式が成り立つ。
 
この公式の証明はここをクリックした先のページにあります。

この式を使うと頂点Aの辺BC上への足Dと点Bの間の長さBDが計算できる。
 
ここで、
(c+b)(c-b)=c-b 
です。

この公式のポイントと、三角形の頂点からの距離の積の公式のポイントとの関係を、以下の図で整理して覚えてください。
上の図は、下の図をいっしょに覚えると覚え易いです。

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2017年10月13日金曜日

三角形の頂点からの距離の積の公式(その2)

以下の公式は、
円からはみ出す△AHD∽△AEBの公式
と覚えた方が良い。
【公式】
上式のように、三角形ABCの頂点Cから辺ABへ垂直に引いた線との交点Hに関する線分の積:
AH×AB
が、
辺BCを直径2sとする円の中心Oと頂点Aを結ぶ線と円との交点DとEに関する線分の積:
AD×AE=(AO)-s
に等しいことを証明しなさい。

(解答の方針) 
 辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
 この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
(1)図の不足を埋めて図を完成させてから、
(2)相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。

この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月12日木曜日

知識不足を想像力で補う

【問題】 
上図で、AD=BD=12である。
DC=4で、DCの中点をNとする。
AB=16で、ABの中点をMとする。
∠ACB=90°
とする。
このとき、MNの長さを求めよ。

(解答の方針)
 この問題は、三角形MCBの辺CDの中点Nと頂点Mを結んだ線分の長さを、「中線の長さの公式」を使って計算する問題です。

 しかし、以下の解き方は、この公式を知らない場合に、その知識不足を想像力で補って解く場合の解答方法を書きます。
(高校入試問題では、想像力で知識を補える問題がけっこう有るように思います)

【解答】
 以下のように、足りない図形を埋めて図形を完成させます。
直角三角形はその斜辺を直径とする円に内接しますので、円を書きます。
直角三角形AMDの辺の長さを計算するのを、相似な三角形を想像して、その辺を計算することで求めます。
三角形DMCについて、相似な三角形を想像します。
寸法が簡単な相似な三角形を見ると、三平方の定理により、この三角形が直角三角形であることがわかります。
 ∠Cが直角なので、線分MNの長さは直角三角形NMCの斜辺を計算すれば良くなり、問題が簡単になりました。
(この問題は、想像力が知識を補えるように簡単にしてありました)
よって、
(解答おわり) 

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中線の長さの公式(中線定理)

【中線の長さの公式(中線定理)】
上図のように、三角形ABCの辺BCの中点Mと頂点Aを結んだ中線AMの長さmに関して、上の式1又は式2が成り立つことを証明しなさい。

(補足)
 中線定理は覚え易い定理ですが、高校入試問題で中線定理を使うよう誘導している問題を見ると、その誘導にもかかわらず、中線定理を使わないでも解けるようにした問題を出題しています。
 その出題高校の意図を推測すると、
「単に中線定理を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があるように考えられます。
 そのため、この中線定理を学ぶ目的は、
この中線定理を証明しようとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第1の目的にするのが良いと考えます。
 そのため、この定理を自力で証明するまで解答を見ずに、知能ホルモンの分泌を続けるのが良いと考えます。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページに書きました。

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2017年10月11日水曜日

三角形の頂点からの距離の積の公式

距離の積の公式は、ある三角形同士の相似の公式です。
【公式】
上式のように、三角形ABCの垂心Hに関して、頂点Aからの各点までの距離の積が等しいことを証明しなさい。

(解答の方針) 
 辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
 この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
(1)図の不足を埋めて図を完成させてから、
(2)相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。

この公式の証明は、ここをクリックした先にあります。

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2017年10月9日月曜日

円に内接する四角形の対角線の交差点までの長さ

円に内接する四角形の対角線の交差点までの長さの計算は、
2つの場合に応じて、解き方が変わります。

【第1の場合】 
三角形AEDと三角形BECは相似です。
△AED ∽ △BEC
 上図のように、三角形AEDの辺ADの長さaと三角形BECの辺BCの長さaが異なる場合は、

相似な三角形同士で辺の比が同じであることを表す方程式1と2を立てて、以下のように計算して長さxとyを求めます。

【第2の場合】
上図のように、三角形AEDの辺ADと三角形BECの辺BCの長さaが同じ場合は、
先ず、頂点Dの足Fを考え、FB=Cを計算する。
この式は、ここをクリックした先に書きました。
そして、このCを使った式6の計算で長さzを求めます。

(補足)
 この第2の場合で、線分DCの長さもわかっている場合は、
(1)
=(AB+DC)/2
で計算できます。
また、
(2)相似な△ECDと△EBAの辺CDの長さと辺BAの長さが等しくない場合は、第1の場合の計算を使うことができます。
(3)辺CDの長さと辺BAの長さが等しく、辺ADの長さと辺BCの長さも等しい場合は、四角形ABCDが長方形になり、簡単に解けます。

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2017年10月8日日曜日

図形を対称な形に完成させてから解く

【問1】(難問)
上の図のように、四角形ABCDが円に内接していて、
AB=AD=DC=4、BC=6である。
円周上に、点Dと異なる点PをBD=BPとなるようにとる。このとき、APの長さを求めなさい。

(注意)
 図形問題では、先ず、足りない図形は埋め、特に、図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。

図形をどのような対称な形に完成させるかは、ここをクリックした先に書きました。

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高校受験用:三角形の高さと外接円の半径Rの関係

以下の、
「外接円の半径Rと三角形の高さhの関係の式」
は、高校入学試験問題を解く上で便利な式です。

【公式】 
三角形の外接円の半径Rに関するこの式が成り立つことを証明せよ。

この問題解答は、ここをクリックした先のページにあります。

(補足)
 この公式は、以下の図のように頂点Aから引いた2つの線の長さの積が等しいという関係です。 


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2017年10月7日土曜日

180度の5分の1の頂角の二等辺三角形の辺の長さ

【問1】
上の図のように、180度の5分の1の36度の頂角Aを持つ二等辺三角形ABCがある。
この二等辺三角形の辺の長さyを、補助線CEとBDを利用して解け。
ただし、線分BDは∠Bの二等分線であり、線分CEは∠Cの二等分線である。

この問題の答えは、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月6日金曜日

足りない図形を埋めてから解く

【問1】(難問)
上の図のように、点Oを中心とする直径ABが4である半円を、弦CDを折り目にして折り返したら、線分ABと弧CDが線分AB上の点Pで接した。OP=1のとき、
弦CDの中点をMとするとき、
OMの長さを求めなさい。

(注意)
 図形問題では、先ず、足りない図形を埋めて図形を完成させてから問題を解くように心がけてください。

図形をどのような形に完成させるかは、ここをクリックした先のページに書きました。

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2017年10月4日水曜日

三角形の辺と角度の難問

【問1】(難問)
上の図のように、OA=1,OB=3とする。
∠OPA=∠APB
のとき、
OPの長さを求めなさい。


【解答】
 この問題では、以下の様に、水平線上の点の高さの比の公式を使って解く。

先ず、線分PAを、高さ0(0h)の水平線であるものとする。
点Bの水平線上の高さを(2h)とすると、
点Oの高さは(-h)になる。
∠OPA=∠APBであり
水平線PAに対する傾きが同じ斜め線に、この高さの比が反映されて、
BP:OP=2:1
になる。
ここで、正三角形を2分した直角三角形の各辺同士の長さの比を思い出すこと。
直角三角形OPBは、斜辺と他の辺の比が、正三角形を2分した直角三角形の斜辺と他の辺の比と同じなので、
その直角三角形と相似である。
よって、
∠OPB=60°
正三角形を2分した直角三角形との相似比を用いて計算した結果、
OP=√3
である。
(解答おわり)

(補足)
この計算過程を答案に書く場合に、
(もし覚えていれば)
「三角形の角の二等分線の公式により、
OP:BP=OA:BA=1:2
である。」
と、答案に書いても良いが、
上に書いた様に考えて解く方が、
より応用が利く解き方なので、
優れていると思う。

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水平線上の点の高さの比の公式

【水平線上の点の高さの比の公式】
上の図のように、OA=6,OB=4の三角形OABにおいて、
AP:BPの比を求めよ。

【解答】
 この問題では、
線分OAを、高さ0(0h)の水平線とする。
点Aの水平線上の高さを(6h)とする。
すると、
点Bの高さは(-4h)になる。
この高さの比が反映されて、
AP:PB=6:4=3:2
になる。
(解答おわり)

(補足)
この結果は、
∠AOBの二等分線OPと線分ABの交点をPとすると、
OA:OB=PA:PB
となる
(角の二等分線の公式)
を示している。

 角の二等分線の公式は、上の計算のように、
水平線上の点の高さの比の計算で即座に導き出すことができるので、無理して覚えなくても良い。

上の解き方のパターン、すなわち、水平線上の点の高さの比の公式を、第一に優先して覚えてください。

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2017年10月2日月曜日

子供を理系に育てる勧め

 子を持つ親にお勧めします。
子供は理系に育てることをお勧めします。
何故なら、子育てが楽になるからです。

小学生の間は親に素直に従う子は良い子だと思います。
しかし、思春期の子は、特に親が勉強に干渉すると、
特に、数学の模範解答を、子供ためと思って覚えさせよう教えようとすると、
「ウルセイ!」
と言って反発する子は、完全に理系の子であって、
自分で勝手に勉強するので、安心と思います。

なぜなら、本当に理系に染まっている子には、参考書の模範解答は正しい答えでは無いことが本能的に分かっているからです。
そういう。本質が分かっている子は、
親が押し付け教育をしようとすると、
「ウルセイ!}
と言って反発するからです。

親は、反抗期だと思って心配するかもしれませんが、
全く心配する必要はありません。
なぜなら、以下の理系学生の心構えがあるからです。
【解答の心構え】
 数学の問題の解き方は種々あります。正しい解き方は、問題を解くために自分の心の奥底から湧きあがる疑問に答えて問題を解くことだと考えます。
(問題集の模範解答は、自分の心に一致すれば覚えるし、一致しなければ覚える必要がない)
 問題に対して自分が何を問うか。そして、その問いにどう応えるかを覚えることが、数学を勉強するということだと思います。
-----おわり------

これが分かっている理系学生は、
親の押し付け教育に反発します。
それが理系学生の正常な反応と思います。
(間違っていたらゴメンナサイ)

理系学生は、野良猫の一種で、
夜遅くまでヘロヘロになるまで勉強したりします。
その勉強をする理由は、その様に勉強した後、
朝起きると、知能や感受性を上げるホルモンが夜の間に分泌されて、朝がとても気持ち良いからです。

人間とは自分勝手であって、また、複雑なのだと、つくづく思います。

結論:
 理系の子は育てるのが楽なので、子供は理系に育てるのが良いと思います。

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2017年10月1日日曜日

中学数学の目次

中学数学の全般については、
中学から数学だいすき!のサイトと、
最新の高校入試問題の解説のサイトが参考になると思います。
以下では、中学数学の一部の、このサイトのオリジナルな説明のみの一覧を書きます。

【2次方程式】
二次方程式の解の公式のやさしい覚え方

【図形】
 参考書「中学 数学 自由自在」では、メネラウスの定理や方べきの定理まで教えている。

そのため、このブログでも、それらも中学の数学の範囲とみなす。

ピタゴラスの定理
三角錐の体積の公式
微妙な合同の条件
想像力を使う角度連動公式
高校入試の難問の解き方
足りない図形を埋めてから解く
図形を対称な形に完成させてから解く

「三角形の性質」
 三角形の重心をとらえる想像の翼
 (1)線分の長さと比
 中線の長さの公式(中線定理)
 知識不足を想像力で補う
 角の二等分線の長さ-相似図形による定理の証明
 3辺が定まった三角形の頂点の足の位置
 三角形の面積を3辺から計算する
 水平線上の点の高さの比の公式
 (2)三角形の角の2等分線
 (その2)
 平行線と線分の比の問題
 三角形の辺と角度の難問
 三角形の頂点からの距離の積の公式
 三角形の頂点からの距離の積の公式(その2)
 三角形の頂点からの距離の積の式と三角形の中線の長さの式の関係
 公式の証明の補助線をまねて使って解く
 三角形の垂心を通る線分の長さの積が同じ
 三角形の垂心の高さ
 180度の5分の1の頂角の二等辺三角形の辺の長さ
 ラングレーの難問

「折り返し図形」
 二重相似の公式と折り返し図形の点の位置

「円の性質」
 中学で習う円周角のまとめ
 円の外の拡張円周角の定理
 円の外の点に拡張した円周角の定理
 円の中の点に拡張した円周角の定理
 接弦定理:微小変位の想像の翼
 (48)三角形と円の角度の関係図形をおぼえる
 円と直線の関係の問題1
 (2/2)方べきの定理の証明
 問題をやさしくする数学(27)方べきの定理を思い出す視線
 高校受験用:三角形の高さと外接円の半径Rの関係
 円に内接する四角形の対角線の交差点までの長さ

「メネラウスの定理等」
 メネラウスの定理の証明:線の垂直線への射影の利用
 メネラウスの定理
 チェバの定理
 スーパーメネラウスの定理


リンク集
算数の実践
算数ランド
算数・数学教育のホームページ
Javaで・算数・数学
数学教材の部屋
中学受験・算数の森
「楽しく学ぶ算数・数学」プロジェクト
受験数学かずスクール(中学数学の問題や公式)
学びの場
中学から数学だいすき!
数学の小部屋
小学校算数
目指せ!教え上手
三角形の性質
学ぶ 教える.com

高校入試の難問の解き方

【問1】(難問)
上の図のように、OA=6,OB=4の三角形OABにおいて、∠AOBの二等分線とABとの交点をPとする。
OP=12/5のとき、次の各問いに答えなさい。
(1)∠AOBの大きさを求めなさい。
(2)APの長さを求めなさい。

【解答のこころがけ】
 数学の問題の解き方は種々あります。正しい解き方は、問題を解くために自分の心の奥底から湧きあがる疑問に答えて問題を解くことだと考えます。
(問題集の模範解答は、自分の心に一致すれば覚えるし、一致しなければ覚える必要がない)
 問題に対して自分が何を問うか。そして、その問いにどう応えるかを覚えることが、数学を勉強するということだと思います。
 そのため、以下で、自然に浮かぶと考えられる問いに答えつつ問題を解く解答の1例を書きます。

【解答例】
(1)
 この図形に以下の補助線を引いて、考えやすい直角三角形OBCとOADを作る。
すると、その直角三角形以外に、その他の考えやすい直角三角形PBCとPADも作られた。
それらの直角三角形の間に以下の相似の関係がある。
これから、直角三角形OBCの辺の長さOC=mを計算できる。
直角三角形OCBで、OC=2で、OB=4なので、
頂角∠COB=60°であることがわかる。
よって、∠AOB=120°
である。
((1)の解答おわり)

(2)
次に、三平方の定理を使ってAPの長さを計算する。
((2)の解答おわり)

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