2017年9月20日水曜日

2重平行四辺形の面積の公式

ベクトルA(a,a)とB(b,b)の張る平行四辺形の面積Sの公式は、
S=a-a
で計算する公式が知られています。

 この平行四辺形に外接する図のような平行四辺形CDEFの面積は、ベクトルAとBの張る平行四辺形の面積の2倍です。
(2重平行四辺形の面積の公式)

この公式は上図から明らかですが、
以下で、この公式を、ベクトルの計算からも導き出してみます。

(2重平行四辺形の面積の公式の導出)
先ず、ベクトルA,Bを反時計回りに90度回転したベクトルA,Bを考えます。
そして、ベクトルAとBの張る平行四辺形の面積SをベクトルAとBの外積であらわして、それをこれらのベクトルを使って内積であらわします。
ベクトルCDとCFとそれらのベクトルを反時計回りに90度回転させたベクトルを以下の式であらわします。
次に、ベクトルCDとCFが張る平行四辺形の面積を以下の式で計算します。
ベクトルCDとCFが張る平行四辺形の面積が、ベクトルAとBが張る平行四辺形の面積の2倍である、以下の公式が得られました。 
(公式の導出おわり)

リンク:
高校数学の目次

0 件のコメント:

コメントを投稿