勉強しよう数学: ２元連立方程式をベクトルの内積により計算する

以下の連立方程式を考える。

この連立方程式は、以下のように定義したベクトルの内積の式５と６であらわすことができる。

この連立方程式を以下のようにしてベクトルを使って解く。

（解答はじめ）
　先ず、式３が成り立つので、以下の式７が成り立つ。

すなわち、ベクトルａとｃの和のベクトルと、ベクトルａとｃの差のベクトルの内積が０になり、それらのベクトルが互いに垂直である。
（これは、以下の図のひし形の対角線の直交の公式をあらあわす）

　ベクトルｚを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
ベクトルａとｃの和のベクトルに平行な単位ベクトルｓと、
ベクトルｃとａの差のベクトルに平行な単位ベクトルｔを考える。

ベクトルｚを、単位ベクトルｓとｔに平行な要素に分解してあらわす。

　ここで得られた式８は、ベクトルｚの解である。

　この式８をベクトルａの要素とベクトルｃの要素で整理すると、もっと複雑な、扱いにくい式になる。
ベクトルは、この式８のように、互いに垂直なベクトル毎にまとめる方が単純な式になる。
この式８が、この計算結果によるｚの解をあらわす一番単純な式である。
（解答おわり）

（補足１）
　この式８が成り立つことは、以下のようにして確認できる。
問題の式５と式６は以下の式に変形できる。

式８が、この式を満足するので、式８が成り立っている。

（補足２）
　この問題のｚの解は、以下の式９であらわすこともできる。

（式８を式９に変換する）
　この式９は、以上とは異なる発想で解いた結果の式であり、式８と等しい式です。以下の計算によって、式８を式９に変換できます。

こうして、式８を式９に変換できました。
（変換おわり）

　式８も式９も、どちらが優れている（単純な）解だと言うことが出来ない、対等な解です。
　式９は、ベクトルａに垂直なベクトルａ_ｖと、ベクトルｃに垂直なベクトルｃ_ｖを加えてあらわした、使うベクトルの数が多い式ですが、式８よりも計算がし易い式であるとも言えそうです。

この式９は、直ぐには導き出せないので、以下のように整理して公式として覚えておいてください。

【ベクトル方程式の公式１】
以下の連立ベクトル方程式の式ａ１とａ２があるとき：

この連立ベクトル方程式の解は：

である。
なぜなら、式ａ１と式ａ２のベクトルｚに式ａ３を代入すると、以下の通り、式ａ１とａ２を満足するからである。

（公式おわり）

【ベクトル方程式の公式２】
以下のベクトルｚとａとｂがあるとき：

ベクトルａとｂを反時計回りに９０度回転したベクトルａ_ｖとベクトルｂ_ｖを利用して、以下の関係が成り立つ。

（公式おわり）
この公式を図で表すと以下の図になります。

（補足：公式２の言い換え）
　ベクトルｕとｗを以下の式で定義する。

このベクトルｕとｗを使って公式２が以下の形の式であらわせる。

公式２はこの形の式に言い換えた方が覚えやすいかもしれない。

【連立方程式の解の公式３】
　以下の連立方程式の解の公式３もあります。

これらのベクトルを使って連立方程式１０と１１をまとめて上のベクトル方程式１５が得られます。

すなわち、ベクトルの視点で見ると、連立方程式１０と１１は、式１５のベクトル方程式をあらわしていると見ることができます。

　ここで、ベクトルａとベクトルｂと、それらを反時計回りに９０°回転させたベクトルａ_ｖとベクトルｂ_ｖが下図のように描けます。

反時計回りに９０°回転させたベクトルａ_ｖとベクトルｂ_ｖが以下の式１６と１７であらわせます。

以下の式の内積の計算により、ｘの解の式１８とｙの解の式１９が得られます。

（補足）
ベクトルａを反時計回りに９０度回転した単位ベクトルａ_ｖ＝ｆを、
更に反時計回りに９０度回転した単位ベクトルｆ_ｖは－ａになる。
そのため、ベクトルの内積ａ_ｖ・ｂを、
両ベクトルを一緒に反時計回りに９０度回転して内積した値は同じ値になるが、
その関係は、以下の式であらわされる。
ａ_ｖ・ｂ＝－ａ・ｂ_ｖ
すなわち、以下の式２０が成り立ちます。