2017年6月1日木曜日

マクローリン展開とオイラーの公式

以下でオイラーの公式を導きます。
先ず、ネイピア数eを底にした指数関数 e マクローリン展開します。

ここで、指数関数の虚数乗を以下の式2で定義します。
cos(x)をマクローリン展開します。
sin(x)をマクローリン展開します。
式3と式4を使って以下の式を作ります。
この式5は、オイラーの公式と呼ばれています。

(関連する話題)
 オイラーの公式によって、以下の問題が解決されました。
対数関数 log(x)を、xが負の場合にも対数関数を定義したい希望がありました。
log(-1)=a
とすると、
2a=2log(-1)=log((-1))= log(1)=0
∴ a=0 ?
という矛盾を生じました。
この矛盾は、以下のように解決できます。
log(-1)=(2n+1)πi
a=(2n+1)πi
であって、
2a=2(2n+1)πi=2mπi
なので、
2log(-1)=2(2n+1)πi
になったのです。
この
2(2n+1)πi 
は2分の1にしても、
(2n+1)πi 
になるだけで、0や2mπi にはならないです。
また、 log(1)についても、
log(1)=0+2mπi
となり、その答えは0だけでは無い、
ということがわかります。

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