2017年5月9日火曜日

xの最高次の係数が1の整数係数方程式の有理数解は整数解になる

【問1】
 次の、最高次の係数が1である整数係数方程式1が有理数の根(r/p)を持つ場合、その根(r/p)は整数解 r になることを証明せよ。
(ただし、rとpは互いに素な整数とする。
また、a,a,aは整数とする。)

【解答】
 式1のxに(r/p)を代入する。
この式3をp倍する。
 この式4が成り立つためには、
P=1,  (5)
であることが必要である。
よって、(r/p)=整数 r である。
(証明おわり)

【問2】
 問1における、方程式1の整数の根 r は、整数aの約数になることを証明せよ。

【解答】
 式1に根の整数rを代入する。
 この式6を変形して式7を得る。
式7は、式8のように、整数rと整数sの積の形をしている式である。
よって、 根rは、整数aの約数である。
(証明おわり)

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7 件のコメント:



  1. https://schoolhmath.blogspot.jp/2015/03/blog-post_28.html
        を 拝読 致しました。
        
     R^4に於ける 易しい図形 三角形 の 面積問題 ;
    A = {1, 2, 3, 4}; B = {6, 9, 19, 4};C = {4, 9, 8, 9}
    なる 三角形の面積を 多様な発想でお願いします;


    外積とか 四苦八苦 されますか?

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    1. この問題は4次元空間にある三角形ABCの面積ですね。
      (解1)辺ABの長さとBCとCAの長さを計算し、その3つの長さから三角形ABCの面積を計算します。

      (解2の試み)4次元空間で三角形ABCの法線ベクトルを求めようとしてもうまくいきません。
       つまり、ベクトルABにもBCにもCAにも直交するベクトルnを法線ベクトルnとして計算しようとしても、
      そのベクトルnの方向には自由度が1つ残っていると思います。
       すなわち、法線ベクトルnのxy平面への正射影の率(余弦)を使ってxy平面上の三角形の面積から4次元空間内の三角形の面積を逆算しようとしても、うまくいきません。
       4次元空間における法線ベクトルは、体積を持つ三角錐等に対してのみ定義され得るからです。

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    2. (解3)解1の計算は煩雑で、どこかで計算間違いをする。
      それよりは、
      (1)ベクトルABとベクトルACの内積=cosθを計算して、
      (2)S=|AB|×|AC|×sinθ/2で計算する方が、計算が単純になり、計算間違いを防げる。

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  2. [[1]]  「x^3 - 3*x + 1 = 0 は ◆代数的に解ける」 と 20行以上費やし 解いた 解説が
    ググると見出せると 少女A.

    少女A が 虚偽を述べていないか 検索した 顛末を 開示願います;



    [[2]] ところで x^3 - 3*x + 1 = 0  の一つの解を r1=αとする。

    ● この時,他の解 は αの 2次以下 の 多項式 gj[α]∈Q[α] で表されると

    少女 A  が   具現した ; r2=σ[α]=2 - α - α^2, r3=σ[σ[α]] =_________
             
             少女Aの 導出方法を忖度し  導出願います;
             
             
    ■ r1=r2等 重解にならず 相異なることを 背理法で 示して下さい;


    ◇ 函数 x--f->x^3 - 3*x + 1 (f∈R^R) の グラフを描き 

      実軸の相異なる3点を通ることを示して下さい;
      
    ¶  判別式の定義を記し x^3 - 3*x + 1 = 0 の判別式を 

       導出過程を 明記し 求めて下さい;
      
      
             
             
         

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  3. 交角に 口角泡を飛ばす

      「ありがちな 問か..」;
    http://suseum.jp/pq/question/1742

    曲線 y = x^4  の2つの接線なす角またはその補角が45度になるとき、
      その交点はどのような図形上にあるか。

    その方程式を求め c ;______________________________=0

    その双対曲線 c^★ をも求めて下さい:

    双対曲線の定義は ↓の2行 と XJAPAN
    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/148475134078075794177.gif


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  4. ■数列a から b[n]=Sum][k*a[k],{k,1,n}]/((1/2)*n*(1 + n)) を産む。 (ありがちな FAQ a->b か?)


    (1)漸化式 a[n + 1] = (4*a[n] - 9)/(a[n] - 2), a[1] = 5 から a[n]を求め,

    b[n] の 極限値 を求めて下さい ; Limit[b[n],n->Infinity]


    (2)漸化式 a[n + 1] = (3*a[n] + 1)/(a[n] + 3), a[1] = 1/3 から a[n]を求め,

    b[n] の 極限値 を求めて下さい ; Limit[b[n],n->Infinity]



    ● そも そも a から b を 何故 考えるので せうか?



    そも 【抑▽】( 接続 )

    〔代名詞「そ(其)」に係助詞「も」の付いたもの〕
    前に述べたことを受けて次のことを説き起こすとき用いる語。そもそも。一体全体。
    「坊さんが何か云てたよ。-何とかいつたつけ/怪談牡丹灯籠 円朝」


    そも そも 【抑▽・抑▽ 抑▽】

    〔「そも」を重ねた語。古くは漢文訓読に多く用いられた〕
    一 ( 名 )
    (物事の)最初。起こり。どだい。副詞的にも用いる。 「 -は僕が始めたものだ」 「 -の始まり」

    二 ( 接続 )
    改めて説き起こすとき,文頭に用いる語。いったい。だいたい。 「 -,事前調査の不備がこのような事態を招いた」 「 -私の今日あるは彼のおかげだ」 〔一 は二 の転〕


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  5. (x(1)+x(2)+x(3))/((x(1)^4+1)*(x(2)^4+1)*(x(3)^4+1))の最大値,最小値を求めて下さい;

    (x(1)+x(2)+x(3))/((x(1)^2+1)*(x(2)^2+1)*(x(3)^2+1))の最大値,最小値を求めて下さい;

               此処で 「最大です」 と 等 明記し。
               
            https://www.youtube.com/watch?v=lq6j3S_CnNg  
            
        (x(1)+x(2))/((x(1)^2+1)*(x(2)^2+1)))の最大値 (最小値) を
        
              多様な 発想で 求めて下さい;
              
              
       ●「〇 【炯眼】 な 方 の 解答の 儘 を そのまんま 此処に コピペし 投稿願います;
         
         
         
    (1)鋭く光る目。眼光。 「—人を射る」
    (2)真偽・本質を見抜く鋭い眼力。また、眼力が備わっていること。慧眼(けいがん)。     
        
        

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