2017年5月19日金曜日

2つの多項式が共通因数を持つ問題

(2つの多項式の最大公約多項式を求める問題)

 次数の大きい方の多項式 f を、次数の小さい方の多項式 g で割り算して余りの多項式を求め、その余りの多項式で次数の小さい方の多項式 g を割り算する。
こうして、少しづつ式の次数を小さくしていき、最後に式が割り切れた場合に、その最小の次数の式が、最大公約多項式です。

 この手順で最大公約多項式を求める方法を、ユークリッドの互除法と呼びます。

【例題1】
以下の多項式 f の方程式1と多項式 g の方程式2が共通の根を1つ以上持つように定数aの値を定めよ。

(解答の方針)
 この問題で、多項式 f の方程式1と多項式 g の方程式2が共通の根を持つということは、多項式 f と多項式 g が共通因数(x-u)を持つことを意味する。
 共通因数を持つ2つの多項式にユークリッドの互除法を適用すると最終的に定数項になる余りが0になる。
(最後に式を割り切ってその余り0を得る原因の多項式が最大公約多項式です。)

【解答】
 先ず、多項式 f を多項式 g で割り算して余りの多項式 h を計算する。
次に、多項式 g を多項式 h で割り算して余りの定数項 k を計算する。
多項式 f と g が共通因数を持つ場合は、最後に計算した余りの定数項 k は0になる。
よって、以下の式が成り立つ。
(解答おわり)

(補足)
 この計算の式3であらわされる多項式 h が最大公約多項式です。
この最大公約多項式は、aの値に従って以下の式6になる。

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3 件のコメント:

  1. {x^4+x^3+x^2+x+a,x^2 + x - 1}

    1 1 1 1 a 0
    0 1 1 1 1 a
    1 1 -1 0 0 0
    0 1 1 -1 0 0
    0 0 1 1 -1 0
    0 0 0 1 1 -1
    ---Det-->5 + 5 a + a^2

    5 + 5 a + a^2=0を解きFin.

    等多様な発想で叶うのでどうぞ;

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  2. 異国でも ありがちな FAQ:
    Common Tangents to two circles - Geometry
    https://www.youtube.com/watch?v=z-YxfG42P2M
    (■此処のコメント数 を 増やして下さい)

    c ;x^4+x^3 y+3 x^2 y^2-6 x^2+2 x y^3-3 x y+2 y^4-9 y^2+9=0  について

    c は 可約代数曲線 で あることを 示して下さい; c=c1∪c2

    c1もc2 も 楕円であることを 主軸を明記し示して下さい;

          各双対曲線を 求めて其の名も記して下さい;

     c1^★;___________________=0 , c2^★;___________________=0

    c1とc2 の 共通接線達(Common Tangents)Tj を多様な発想で求め

    c1,c2 と 共に図示願います;

    Tj 達で囲まれた 四辺形の面積を求めて下さい;


    c1^★とc2^★ の 共通接線達(Common Tangents) を多様な発想で求め

    c1^★,c2^★ と 共に図示願います;

    共通接線で囲まれた 四辺形の面積を求めて下さい ;


    廃れない 不定方程式(Diophantine equation)を解いて下さい;

    c1∩Z^2= c2∩Z^2=


    其の 際 (5)を解く為に 右下の 誘導達 に 倣い 解きますか?
    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/005/146268629249907679177.gif


     

           双対曲線の定義はもう知悉でせうが ↓の2行 と XJAPAN
    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/148475134078075794177.gif
      (XLAPAN が 2重接線 を 求め 図示してゐる)



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  3.   Find common tangent(s) (y - 5)^2 = 8 x, x^2 + y^2 = 1
    https://artofproblemsolving.com/community/c7h502201s1_common_tangent_to_two_curves

    を  ●多様な発想で 解いて下さい;

    ●発想イ 少女 A が Dual curvesを求め 解いた顛末;  (行間を几帳面に埋め尽して下さい;)

    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/149527420616877712177.gif

      上問 は 言語明瞭意味明瞭 そのもの で 世界のだれもが 「題意を理解する」 問題です。

    http://ja.uncyclopedia.info/wiki/%E8%A8%80%E8%AA%9E%E6%98%8E%E7%9E%AD%E6%84%8F%E5%91%B3%E4%B8%8D%E6%98%8E

           双対曲線の定義はもう知悉でせうが ↓の2行 と XJAPAN
    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/148475134078075794177.gif
      (XLAPAN が 2重接線 を 求め 図示してゐる)

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