2017年4月20日木曜日

楕円と双曲線と放物線の接線の公式を覚える

「微分・積分」の勉強
【研究】
 高校3年で学ぶ楕円の接線の式を含めた、
楕円と双曲線と放物線の接線の式は、
以下の(大学で学ぶ)微分の計算によって導くことができる。

【楕円の接線】
楕円 x/a+y/b=1 (式1)です。

 楕円の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。
この式3が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。
z=1の場合が、通常のxy座標系での接線の式です。
 この式6が楕円の接線の式です。

【双曲線の接線】
 双曲線の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。
この式3が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。
 z=1の場合が、通常のxy座標系での接線の式です。
 この式5が双曲線の接線の式です。

【放物線の接線】
 放物線の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。
この式3が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。
 z=1の場合が、通常のxy座標系での接線の式です。
 この式6が放物線の接線の式です。

 このようにして接線の式を導き出すことを覚えたら、このやりかたで直ぐ接線の公式を導き出すことができるようになるので、各図形の接線の公式を覚えないでも良くなり便利です。

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4 件のコメント:


  1.   
     >  その東大の問題は, 文理共通問題でした。文科ならば, 偏差値65以上の問題,
      理科なら偏差値60以下の問題ですかね。
     
     いずれにしても, 解法は, 少なくとも10通りくらいあります。
     
     ちなみに, この問題は, 中国の何かの数学コンテストでそのまま出題されました。
     これで, 東大の過去問, 2, 3問、輸入されているようです(笑)。京大も
      
    >  あらら、数学の問題まで…
    ちなみに、彼の国で、裏表逆(ネガーポジ)で
    コピーされた私の勤務先の商品が確認されたことがございます。(笑)

    上の やりとり [コミュニケーション ・ 双方向通信 ・ 意思疎通 ] を 拝聴し 

    中国の何かの数学コンテスト やら を ググり ↓ に 邂逅しました;

       https://www.spc.jst.go.jp/experiences/chinarep/downloads/report0704_01.pdf
      
      此処の 過去問 ●「 a^2+b^3=c^4 に 関する問題を 先ず解いて下さい」;
      
       (無論 解に至る 過程を 明記し)
       
      
      代数曲面 S; x^2+y^3-z^4=0 に ついて;
      
      (1) S の 双対曲面 S^★ を 多様な発想で 求め 図示をも願います;
      
      
               不定が 日本でも 流行る...
      
      (2)   S∩Z^3 を 求めて下さい;
      
      (3)  S^★∩Z^3 を 求めて下さい;
      
      
      
      x^2+y^3-z^4=0 で z=6 とした  3次曲線 c; x^2+y^3-1296=0 に ついて;
      
      
      [1] c の 双対曲線 c^★ を 多様な発想で 求め 図示をも願います;
      
      
               不定が 日本でも 流行る...
      
      [2]   c∩Z^2 を 求めて下さい;
      
      [3]  c^★∩Z^2 を 求めて下さい;
      
      [4] c^★ の 特異点達を 求めて 対応する c の 接線【一触】 達を図示願います;
      
       獲た 特異点 は 尖閣の尖点でしたか?
       
      
      【一触即発】 ........................................
      

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  2.    射影化中ですね!


    (1) S ; x + y + z + x^2 + y^2 + z^2 = xyz 上の 格子点を(導出法を明記し)お願いします;

    (2) 双対曲面 S^★を求め  S^★上の 格子点を(導出法を明記し)お願いします;

    >「ググる」とよく言いますが、この言葉が死語となる時代はもうすぐ先に訪れています。<---- ?

    ● 問を「ググり」 美しい 解法に 邂逅されたなら 紹介願います;


    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
    双対の定義は 略 一行 です;

    http://gbnb.at.webry.info/201701/img1_5.148475134078075794177.html
      

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  3. 大工さん が  図面を 少し視て 仕事をされておられるのに 邂逅し 驚いた。
      
       (如何なる 座標 表現 D⊂R^2⊂R^3 かと,,,)
      
       https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11131502471
       なる 容易な問について ■↓の方針で解いて下さい;
      
      ■ n= (p + 3)/(p*(p + 1)) を pについて 解いて下さい;
      
    解p=_______,_______ が 有理数となる整数n を求めて下さい;(↓の緑枠)  

      http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/149337329210553112179.gif
      
      
      ●上の 紫枠 の 問を 解いて 図示をも願います;
      
      
      (双対曲線 は 世間の人々が知悉の 楕円(の 哲學) であることを
       
       主軸問題を 確実に解き 示し 焦点を も 求めて下さい)
       
       http://holisticeducation2011.blogspot.jp/2016/03/2016322.html#!/2016/03/2016322.html
     
      
       https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11131502471
          の解答 は ◇不十分で ↑で 容易に解けたでしょう が 
            ググれば 別の 発想による 解答が在るでせう。
      
            ▽ググり 其れを 此処に 提示願います;
            
            
      
      

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  4.   http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/2012-01-21.html
      
    (1)  この易しい【角度】の問題 q を 素直 に vector PB,PC の ●内積を求めて解き;
      
      
    (2) Q;==== 絵画鑑賞 の際の 立ち位置 問題 ====
     
       https://www.geogebra.org/m/yP66Bcn4
      
      を 素直に P=(x, 0),A=(0, a),B=(0, b) ( 0<b<a 例 b=2,a=7) と し
        ↓の発想で解いてください; [ 「かぶりつき」では... ]
      
    vector PA,PB の●内積を求めよ;
    内積/|PA|*|PB| の 導関数を求め, 最小値を求めよ;
      
    Qを Tan の 加法減法定理(を導出し)が好きなのか 使い解くのが 推奨されてるみたい...
    貴方は ↓の Tan 使用派ですか?
    https://en.wikipedia.org/wiki/Regiomontanus%27_angle_maximization_problem

    http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/historical-activities-for-calculus-module-3-optimization-regiomontanus-hanging-picture-problem

    http://wesclark.com/rrr/rugby_and_math.pdf

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