2017年3月21日火曜日

二項定理に関連する公式

二項定理は、例えば:
(x+1)
を展開した各項の係数が以下の式であらわされるという定理です。

x=1とおけば、上の式1のように、2が組合わせの数の和であらわされます。
上のように式1が得られたので、この式1を覚えろと言われます。

しかし、数学のセンスのある学生ならば、ここで、何となくうさんくさく感じて、素直にはこの式1を覚える気にはならないと思います。
(そのうさんくささを感じる嗅覚が数学的センスです)
この公式がうさんくさいので、先ずは、具体的な場合を調べて、本当に式1が成り立つのかを具体的に調べます。
何と!全部成り立っているではないですか。

しかし、それでも納得いかないので、この式1が別の方法で証明できるならばこの式1を覚えても良いと考え、別の証明方法が無いか調べてみます。
(その調査をすることが数学を勉強するということだと考えます)

そのために、組合せの数の式の定義を使ってこの式1を証明する方法を探してみます。
先ず、 組合せの数の式の変形可能性を調べます。
上のように、組合せの数には、式2の関係があることを確認できました。
(この式2は覚えておきましょう)
この式2を使って、もう少し調べてみます。
この式3も成り立つことが分かりました。
この式3を使うことで、組合せの数を、そのパラメータnをどんどん減らした式に変換でき、下の図の関係があります。
(便利なので、この式3を覚えましょう)
下図では、各行の各が、式3に従って、その下の行の2つの項の和であらわされます。
上の図で、下方の行の各項が上方の行で2回使われています。そのため、上方の行の値は下方の行の値の2倍です。
それゆえ、式1が成り立ちます。
(式1の証明おわり)

こうしたやり方で、
「納得した後で初めて式1を覚えることにする。」
という勉強方法は間違っていないと私は考えます

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高校数学の目次

10 件のコメント:


  1. 早稲田 http://nyushi.nikkei.co.jp/honshi/17/w09-21p.pdf#page=3

     の 模倣犯に なります; f(x)=3*x^3-3*x+1 , g(α)=(a*α+b)/(α+d) とし,

    f(x)=0 の 解 を α と すると , g(α) も 解 [ <---「おい おい おまえも かい!」]

    となる g を 定め, g(g(α)),g(g(g(α))),... 達を 求め 尽くして 

      感じた ことを 数学的に 詳しく 記して下さい;
     
     
     
     
     Q[x]/(3*x^3-3*x+1)
     |
     |
     |
     Q
     -------------------------------------------
     
      諄い !^(----2017------) と 叱られ そう.......
     
    https://www.youtube.com/watch?v=0MhH5v89PDQ

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  2.      その時 歴史が動いた ~時代のリーダー;(若き頃のガウスの日記を覗見する!;)
          
    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/149057048516148420178.gif

    (0) 「おなじ 匂いが する 問題群↑ を 先ず 鑑賞願います」

    「その後 鑑賞論文を書いてください!^(2017)」



    【ああ言えばこう言う】を 肯定したいで せう。 即ち

     (1) 若き ガウス が 他の解達を ζの ●有理式∈Q(ζ) で 表現しているが 

      ζ の ■多項式∈Q[ζ] (の 3次以下の元) 表示を してください!
      
     (2) 早稲田が  他の解達を α の ●一次分数式で 表現しているが 

      α の ■多項式∈Q[α] (の 2次以下の元) 表示を してください!
      
    (3) 最下段で 他の解 を αの ■2次以下の元 表現しているが

          他の解達を α の ●一次分数式で 表現してください!
         
         
         
    発想イ [ その際 ◇表示の具現は 独立に で;! ]

    発想ロ [[その際 ◇表示の具現は 他方に従属し 其れを用いて表示を ;!]

    https://www.youtube.com/watch?v=AImrOR_qqSg



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  3.                http://archive.fo/9rcx
                   
    梅村 浩 氏 (多元数理科学専攻教授) が == 解の 「盥回し」∈C3 == に 言及しています。

    3次方程式  f(x)=x^3+6*x^2-8=0 のガロア群

       横戸宏紀「学コン・こぼれ話『巡回する解』」】 に 倣い 導出法を明記し 
    (1)他の解 を αの ■2次以下の元 表現して下さい;


    (2)上とは独立に  導出法を明記し 他の解達を α の ●一次分数式で 表現してください!

    >早稲田大学 基幹理工・創造理工・先進理工学部(2017) 方式。

         
     https://www.youtube.com/watch?v=feMG6xIqhgM  
     > 『盥回し』 群 Cn 
     
     

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  4.   「θ が x^3 + x^2 - 4*x + 1 = 0 の解なら θ^2 +θ-3 も 解」
     
    と 導出過程を 云わず 明記してある のが 世界に流布されているのに 邂逅致しました;

     http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/149074985488677892180.gif
     
     σ[θ]=θ^2 +θ-3 と し 以下を 容易です が 示して下さい;[高校生用]
     
     (1) f(σ[θ])=0 を 確認願います;
     
     (2) σ[σ[θ]] を 求め;
     
     f(σ[σ[θ]])=0 を 確認願います;
     
     (3) σ[σ[σ[θ]]] を 求め;
     
     f( σ[σ[σ[θ]]])=0 を [これほど容易な問は存在しないが..] 確認願います;
     
     -------------------------------------------------------------------------
     
     
     発想イ; 「θ が x^3 + x^2 - 4*x + 1 = 0 の解なら θ^2 +θ-3 も 解」
     
      の  θ^2 +θ-3 を 先ず ▽ 早稲田に 倣い (a*θ+b)/(c*θ+d) なる解 を
     
           独自に 求め,  その後  θ^2 +θ-3 表現 願います;
     
      発想ロ; 「θ が x^3 + x^2 - 4*x + 1 = 0 の解なら θ^2 +θ-3 も 解」
     
      を 上に依存せず 独自に ■多様な発想で (導出過程を明記し) 導出願います;
     
     
     
     
     
      https://www.youtube.com/watch?v=F2JaJF02o0M
      >発想 も イロイロ
     
     
      まだ 「祝 御卒業」 と は まいりません ね...↓ の 問達を 解いて下さい;
     
      http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/149074985488677892180.gif
     
     
     
         更に ↓を 味読され 咀嚼し 解説願います;
            
     http://www.math.tifr.res.in/~eghate/kw.pdf
     

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  5. [1]   下 の d )  α^3 + α^2 - 2 α - 1 = 0 について 
      
    早稲田等 の如く 「 他の解が Q[α] の2次以下の多項式表現可能なのは自明だ」

         と云うだけ 番長に終わらず 導出法を明記し具現願います;
         

    [2] r^3 - r^2 - r + 2 = 0 について 「同様なことがあるわけない」 と 証明願います;

    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/149122597483794484177.gif

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  6. η = 2*Cos[(2*Pi)/7] としたとき η^2 + 3*η + 2 の Q上の最小多項式 f(x)を

               ●多様な発想で 求めてください;

    「獲た f(x) =0 の解をαとしたとき,他の解が Q[α] の2次以下の多項式表現可能なのは自明だぁ!^(2017」

           と ■ 云うだけ 番長に終わらず 導出法を明記し具現願います;

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  7. 下問は 誰かが 何処かの 大学入試に 出題されたのせう ;
     [[ご存じなら 御教示下さい]]
     
        x^3-3*x-1=0の解の一つの解をαとする。
     この時,他の解は 2-α^2,α^2-α-2であることを示せ;
     ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
      著者(谷川氏)の解答 (そのまんま;)
     α^3-3α-1=0 ならば  α=0ではなく,2-α^2=-(α+1)/α,
     この 右辺を x^3-3*x-1=0に代入すればα^3-3α-1=0より成り立つ。
     よって 2-α^2も解である。
     
     他の一つの解は解と係数の関係により3個の解の和が0であることにより
               α^2-α-2となる。
     
     ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
     
     上の 著者の解答を讀み 正直な感想を 記して下さい;
     
     そして 「あなたなら どうする」 と迫られたとして 導出過程を明記し 解答 願います;
     
     
     :::::::::::::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
     
        失礼乍 上の 著者(谷川氏)の 模範解答の【言い種・言い草】は

            -(α+1)/α が 解だ KARA 2-α^2 が 解。と
      
          「【言い種・言い草】が気にくわない」方も世界に存在するでせう.....
                   



    【ああ言えばこう言う】を 肯定したいで せう。 即ち

         変形により 他の解達を α の ●一次分数式で 表現しているが 

      直に 独立に 解 の ■一次分数式 表示を ●多様な発想で 求めてください;
     
     
     
      > 谷川先生は数学者となった 私 (広中平祐) にとって一番の恩人といえます。
     
     「「「「「「「「「「「「「「「「「「
     
     問題
    x^3-3*x-1=0の解の一つの解をαとする。この時,他の解は 2-α^2,α^2-α-2であることを示せ。

              なる 直前の 上の問題について 
    解答
    x=2-α^2とx=α^2-α-2をx^3-3*x-1=0に代入して成り立てば
    >バカでも解ける問題なのでしょう
    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
            と 【辛辣な】ご指摘を いただいてしまいました。
                  容易すぎてごめんなさい。
                  
            で ほんの少し次数をあげ酷似の問を記します ;
            
          x^5+x^4-4 x^3-3 x^2+3 x+1=0 の一つの解をαとする。

    ● この時,他の解 は αの4次以下 の 多項式gj[α]∈Q[α] で表されると少女 A.

         実際に  多項式gj[α]達の 導出方法を明記し  導出願います。

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  8.  早稲田の http://nyushi.nikkei.co.jp/honshi/17/w09-21p.pdf#page=3

      を 解くと 【解達を 亘り 尽す】■ g[α]=(-1)/(α+1) ■  が 
      
       なんと 与えられている! こと が 判明す。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
       先の  問題 に ついても 然り;
      
    x^3-3*x-1=0の解の一つの解をαとする。この時,他の解は g[α]=2-α^2,α^2-α-2であることを示せ。

    <-----■それを言っちゃあ、おしまいよ。■

              なる 直前の 上の問題について 
    解答
    x=2-α^2とx=α^2-α-2をx^3-3*x-1=0に代入して成り立てば
    >バカでも解ける問題なのでしょう
    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
            と 【辛辣な】ご指摘を いただいてしまいました。
                  容易すぎてごめんなさい。
       ==================================================================
      
      
      
      少女 A が 【解達を 亘り 尽す】 模倣犯になり ↓問を 創作した;

    (1)   5次方程式 x^5+x^4-4 x^3-3 x^2+3 x+1=0 の 解をαとし

    σ[α]=-α^4-α^3+3*α^2+2*α-1 を 定義するとき

     αを通る 群 の 軌道 {α,σ[α],σ[σ[α]],σ[σ[σ[α]]],σ[σ[σ[σ[α]]]] }
     
    は σ[σ[σ[α]]] 達を求め 5次方程式の【解達を 亘り 尽す】ことを 証明願います;
     
     
    (2) σ[α]=-α^4-α^3+3*α^2+2*α-1 と 少女A が 明記していますが

    導出法を 忖度し 赤裸々に 晒して 下さい;

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  9. >    x^3-3*x-1=0の解の一つの解をαとする。
    > この時,他の解は 2-α^2,α^2-α-2であることを示せ;

    この問題をどうもありがとうございます。
    この問題の1つの解をαとする場合に、
    他の解が上の式になることを導き出すことに気付いていませんでした。

    どうすれば、その解を導き出せるかを良く考えて、
    http://schoolhmath3c.blogspot.jp/2014/02/blog-post.html
    のページの記述を充実させるために使わせていただきます。

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  10.  世間の誰もが「低次ねぇ」と云う 3次方程式 x^3-57*x^2+504*x-969=0 の解を αとする とき 

         他の解は Q[α]の2次以下の元と表現 可能なることを
          
      発想イ: ↓の ■東大出題者の発想 に 倣い 丁寧に示して下さい;  
      
    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/149180333404593232180.gif


      発想ロ; 其れとは 独立 に ■早稲田に倣い 導出過程を 明記し 

       他の解を Q[α]の2次以下の元と表現 願います;

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