2017年3月21日火曜日

二項定理に関連する公式

二項定理は、例えば:
(x+1)
を展開した各項の係数が以下の式であらわされるという定理です。

x=1とおけば、上の式1のように、2が組合わせの数の和であらわされます。
上のように式1が得られたので、この式1を覚えろと言われます。

しかし、数学のセンスのある学生ならば、ここで、何となくうさんくさく感じて、素直にはこの式1を覚える気にはならないと思います。
(そのうさんくささを感じる嗅覚が数学的センスです)
この公式がうさんくさいので、先ずは、具体的な場合を調べて、本当に式1が成り立つのかを具体的に調べます。
何と!全部成り立っているではないですか。

しかし、それでも納得いかないので、この式1が別の方法で証明できるならばこの式1を覚えても良いと考え、別の証明方法が無いか調べてみます。
(その調査をすることが数学を勉強するということだと考えます)

そのために、組合せの数の式の定義を使ってこの式1を証明する方法を探してみます。
先ず、 組合せの数の式の変形可能性を調べます。
上のように、組合せの数には、式2の関係があることを確認できました。
(この式2は覚えておきましょう)
この式2を使って、もう少し調べてみます。
この式3も成り立つことが分かりました。
この式3を使うことで、組合せの数を、そのパラメータnをどんどん減らした式に変換でき、下の図の関係があります。
(便利なので、この式3を覚えましょう)
下図では、各行の各が、式3に従って、その下の行の2つの項の和であらわされます。
上の図で、下方の行の各項が上方の行で2回使われています。そのため、上方の行の値は下方の行の値の2倍です。
それゆえ、式1が成り立ちます。
(式1の証明おわり)

こうしたやり方で、
「納得した後で初めて式1を覚えることにする。」
という勉強方法は間違っていないと私は考えます

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2017年3月20日月曜日

二項定理

二項定理は、例えば:
(x+1)
を展開した各項の係数が以下の式であらわされるという定理です。

の係数は、(x+1)の6つの項の積において掛け合わされる数の組み合わせが2個あるうちの、xを2つ選ぶ組合せの数=6*5/(2*1)になります。

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2017年3月15日水曜日

当ブログは共謀罪法案の提出に反対します

共謀罪法案が閣議決定されようとしています。
当ブログは共謀罪法案の提出に反対します。

共謀罪法案は、内心を罰する法案であり、
科学の批判精神に敵対するものだからです。

当ブログは、日本の学生の数学の学力向上をめざして、
数学教育に努めてきましたが、

共謀罪の成立によって、
当ブログがこれまで行なってきた科学教育の努力が
全て無駄になってしまいます。

そのため、当ブログは、共謀罪法案の提出に反対します。
 

2017年3月13日月曜日

ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く

・ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く。
以下のようにベクトルAEを分解する道AOEを視線でたどります。

①は、視線がベクトルaを逆向きにたどったのでマイナス”-”
②は、順向きなので”+”

 ベクトルAEのAからの道AOの向きがベクトルaと逆方向に進むことを確認してベクトルaにはマイナスを付けてベクトルAEの展開式を書くようにします。
 こうすることで、思い込みによりベクトルaの符号をプラスにして式を書いてしまうミスを防げます。


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2017年3月10日金曜日

ユークリッドの互除法で最大公約多項式を求める

(2つの多項式の最大公約多項式を求める問題)

 次数の大きい方の多項式 f を、次数の小さい方の多項式 g で割り算して余りの多項式を求め、その余りの多項式で次数の小さい方の多項式 g を割り算する。
こうして、少しづつ式の次数を小さくしていき、最後に式が割り切れた場合に、その最小の次数の式が、最大公約多項式です。

 この手順で最大公約多項式を求める方法を、ユークリッドの互除法と呼びます。

【例題1】
以下の多項式 f と g の最大公約多項式を求めよ。

【解答】
 この場合は、多項式 f が、多項式 g で割り切れましたので、多項式 g が最大公約多項式です。
(解答おわり) 

(補足)
 ユークリッドの互除法で、多項式を多項式で割り算していくと、最終的な余りが定数になります。
(1)その余り定数が0の場合は、その0を余りにするように、多項式を割り切った式が、最大公約多項式です。
(2)その余り定数が0で無い場合は、最大公約多項式は存在しない。あえて言えば、最大公約多項式は「定数」である。

【例題2】
以下の多項式 f と g の最大公約多項式を求めよ。

【解答】
多項式 f を、多項式 g で割り算して余りの式=2hを得ました。
次に、 多項式 g を、多項式 h で割り算します。
この場合は、多項式 g が、多項式 h で割り切れましたので、多項式 h が多項式 f と多項式 g の最大公約多項式です。
(解答おわり)

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