2017年2月3日金曜日

不定方程式の解き方

【問1】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
 以下の様に式を書いて、右辺の数値をユークリッドの互除法で引き算して行き、式の左辺の項を、右辺の数値の加減乗除にリンクして設定する。
この計算で式2が得られた。
次に、この式2に、以下の(整数)変数nを導入して、式3を得る。
式3を式1と対比させることで、

不定方程式1のxとyの全ての整数解を、整数変数nを使った式4と5であらわす。
(注意点)
 ここで式4と5に付け加える7nと5nの係数7と5が最小公倍数を持つ場合は、その最小公倍数で割り算した値にして式に加える必要がある。
(解答おわり)
 
【問2】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
 uを予め与えられた整数と考えて問1と同様に解く。
 (解答おわり)

【問3】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
 xの係数とyの係数の最大公約数=2を求めて解く。
 (解答おわり)

【問4】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
次に、この式2に、以下の(整数)変数n1からn3を導入する。

しかし、これで解答は終わりでは無く、2つの変数nとnの式の部分は、以下の様に1つの変数nの式にまとめられます。
(これは大学の数学専門課程レベルですので、この問題は大学入試には出題されないと考えます)

式1のxの係数4とyの係数(-6)の最大公約数をcとします。
c=2になります。
そして、式1の左辺から、以下の式10を作り、式1を満足するaとbを求めます。
 この係数a,b,cと変数n変数nを使って、以下の式でx,y,zがあらわせます。
(解答おわり)

(別解のコメント)
 ここで、式10を計算して変数nの式を求める方法以外に、以下のようにして変数の式を計算することもできる。
その計算は、式6,7,8の変数n変数変数nの式が独立では無いことを利用して、以下の様に解く方法である。

zを与える式8において、
(A)変数nの式の係数(-4)と数nの式の係数(2)の最大公約数(2)を求める。
(B)その最大公約数(2)を係数に持つ変数の項だけを式8に設定する。
この場合は、式8の右辺を2nだけにする。それは、数n=0とすることを意味する。
(C)変数n=0とした式6’,7’,8’が解である。
この解の変数nをn-nとすれば、先の解に一致する。

また、式6,7,8に対して:
yを与える式7において、
(A)変数nの式の係数(2)と数nの式の係数(1)の最大公約数(1)を求める。
(B)その最大公約数(1)を係数に持つ変数の項だけを式7に設定する。
この場合は、式7の右辺を-1+nだけにする。それは、数n=0とすることを意味する。
(C)変数n=0とした式6’’,7’’,8’’も解である。

【解答3】
 式1を、以下の様に、式12と式13との2つの式に変換して、それぞれの不定方程式を解いて、解を合わせれば良い。
この解答は省略する。

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3 件のコメント:


  1. Z 係数  の ↓の 左辺 は 「【虚仮威し】と 揶揄しますか」

    入試に出題されるような 容易な 双曲線 楕円 上の格子点の問題

    が ”ワニの問題”から 産声をあげた と 少女 A;
     
    9 x^2-8 x y+640 x-y^2+160 y-5500=0 の主軸問題を解き
        その名を明記し 整数解を もとめなさい;

    36 x^2-288 x y+6076 y^2+160 y+1=0 の主軸問題を解き
        その名を明記し 整数解を もとめなさい;

    ----↑は 容易すぎますが パズルではなく 必須事項に関わるので
    未来永劫 學ぶ ことになるので 即座に 解いて下さい ---------


    ”ワニの問題”に 漂着した;
    http://yurukuyaru.com/archives/45103984.html

      この問題に終結符をつけたいのか
    XJAN が ↓の如く 終結式 を 持ち出し解いた;

    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/148612079734346187180.gif

    XJAPAN の かいとう を 解説願います(コメントランを覗き見して)
    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

    今回の双対化は ↓の講義に潜り 盗聴すれば 叶いmath.

    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/147797036598624322180.gif
    (逆行列で 目的が 果たせる なる 講義)
       此れを 詳しく 解説願います。
       
       
      さて 此の赤線=双曲線の双対が青線=楕円です。
      
    「この●双曲線上の格子点達は 漸近線を求めれば瞬時に獲られる」 

          と XJAPAN が 図示して います。
       
       これに従い 双曲線∩Z^2 を 求めて下さい;
       
       
     上で 双曲線上の格子点問題が容易に解けてしまったでせう。
       
      ------------------------------------------------
       
     双曲線上の格子点 の 容易過ぎるのは 入試に出題されているようです。

    ところが 一見 同様にみえて 極度に困難な 問題は量産可能です。

    ●低次の 一例ですが ↓を 是非お願い致します[(2) がメインです] ;
     
     C; 36x^2 + 8xy + 14x - 19y^2 - 14y + 14 = 0  
      は 双曲線です。
     (1) 漸近線を 求めてください;
     
     (2) ● C上の格子点を すべて(導出法を明記し) 求めて下さい; 
      C∩Z^2  「幾度がお願い致しました」
     
      [[飯高先生にも お願い致します]]
     
    https://www.youtube.com/watch?v=Q9qAyt0G-jM

    ------------------------------------------------

    飯高先生 が↓にあげておられる著書群に

     ● 双曲線上の格子点の理論がありますか?

    Weil で数論のlecture 投稿者:iitaka 投稿日:2017年 2月 3日(金)08時03分24秒

    今日を含めてあと3回
    本は薄いけれど
    問題も多く意外に難儀です

    しかし、この講義が最後になりそうですね

    後継の講義は
    高木先生の初等整数論です
    こちらの方が読みやすいですね

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  2. ● 柳の下の泥鰌
    【読み】 やなぎのしたのどじょう

    [[男はみんな狼よ]]

            の == 否定を 記しなさい == ;

                 邂逅した JK 曰く;

    ●「柳の下にいつも泥鰌がいない」
    [[女はみんな天使よ]]



    いわれ ;ベストアンサー
    回答者: martinbuho#2
    回答日時:2002/06/17 19:09
    .
    どじょうは池や田んぼなどの柔らかい土壌があるところを好みます。他の魚のように流れの速いところや小石の多い小川では滅多に見つかりません。川辺に生える柳の細い根の先端は、魚の好む隠れ家です。ある人がたまたまそこにいたどじょうをを掴まえ、その後何回も同じところで掴まえようとしたが成功しなかった。そのような愚かな行動を笑い、戒めた諺でしょう。世の中はそんなに甘くない、一度うまくいったからと言って同じ手は何度もは通じないという事です。

    木の種類は何でもいいわけですが、川辺にもっとも多い柳が代表となったに過ぎないでしょう。

    昔の人はどじょうの習性をよく知っているので、このようなバカなことはしなかった筈です。どじょうの習性がわからない人々が増えた頃に生まれた表現だと思われます。
    ----------------------------------------------------------------
    >柳の下のドジョウはいるか? 投稿者:GAI 投稿日:2017年 2月 4日(土)22時01分30秒
    > x^3-7*y^3=1
    >を満たす正の有理数x,yとして(x,y)=(2,1)は直ぐに探せる。
    >では、他の正の有理数の組(x,y)を一つでもいいので見つけて下さい。

        ↑ の 模倣犯 に なり 下がり マス ;

    c;x^3 - 7*y^3 - 1=0 (2+1次) の 双対曲線 c^★を 是非求めて下さい;



    今回の双対化は ↓の講義に潜り 盗聴すれば 叶いmathか? .

    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/147797036598624322180.gif
    (逆行列で 目的が 果たせる なる 講義)


    獲たならば  c^★上に (-4.7) なる 有理点が なんとか みっかる。


    では 他ノ有理点∈c^★∩Q^2 を できるかぎり いっぱい 見つけて下さい;



    【対義】 一度あることは二度ある/二度あることは三度ある
    【英語】 There are no birds of this year in last year' s nests.(去年の巣に今年の鳥はいない)
    A fox is not taken twice in the same snare.(狐は二度と同じ罠にはかからない)


    獲た c^★上に ▲尖閣の尖点が 在る のは 火を見るより明らか

    と いう (世界の)ヒト が ゐる。

    なぜ そんなに 明らかかを 解説し ;



    いうだけ 番長に おわらず 尖点 を 求めて下さい;


    「尖閣は日米安保条約の適用範囲」=米国防長官の発言に、中国は反発
      を 聴きながら 上の ▲特異点の 問題を 自然分娩しました。
      2017年2月4日 14時10分 (2017年2月5日 11時30分 更新)  
       
    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^





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  3. 双曲線 4 x^2 - 20 x y + 4 x + y^2 + 14 y + 1 = 0 について

    〇 C 上の格子点を \[FilledCircle]すべて求めて下さい;

    この双曲線の漸近線を素早く求め

    其れを用いて この双曲線を 表示願います;

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