2017年2月25日土曜日

双対曲線を求める問題

【問】
上の式1があらわす曲線の双対曲線を求めよ。

(コメント)この問題は大学の数学科に入学した学生用の問題です。そのため、この問題は、医学部をめざす受験生も、無視してください。

【双対曲線とは】
 双対曲線とは、以下に説明する曲線です。
正式な定義は、以下の通りです。
(双対曲線の定義)
上記のように、射影空間における、(Z,X,Y)の(連比の)点の集合
F(Z,X,Y)=0  (2)
で曲線を定義する。
その曲線上の点毎に、関数Fの偏微分係数(の連比)

を求める。
その偏微分係数の連比であらわした、射影空間上の点の集合が双対曲線である。

この双対曲線は、以下の曲線であると言い換えることができる。

(双対曲線の定義の言い換え)
曲線1の点(x,y)に以下の直線8(接線)が接すると:
この接線の係数(U,U,Uは、
この接線8を、
F(Z,X,Y)=Z+UX+UY=0
という形であらわした時の、
関数Fの偏微分係数

に等しい。
その(U,U,U)ベクトルの要素の連比を、射影空間(無限遠直線を加えた空間)の点とする。
その点の集合を双対曲線と呼ぶ。
もっと具体的には、その点の集合をあらわす曲線の式:
P(=0
を双対曲線の式と呼ぶ。

射影空間から無限遠直線を除外した空間を考えると、 
ux=U/U
uy=U/U
であらわした、ベクトル
uxuyの集合をあらわす
曲線
P(1,p(x,uy)=0
が、無限遠直線を除外した空間における双対曲線です。
(無限遠直線を除外しても、なお、複素数座標で双対曲線を考える)

【解答1】
 式1のような2次曲線に限って通用する、以下の方法で双対曲線を計算することができる。

 先ず、式1を射影空間の座標であらわした式2に変換する。
 上の式3のように、式2を対称行列Tを使ってあらわす。
式3の行列Tの各要素は以下の通りである。
式3であらわした曲線に接する接線の係数Uは以下の式5で計算できる。
式5から式6が得られる。
この式6を式3に代入すると係数Uのベクトルがあらわす曲線(双対曲線)7が計算できる。
ここで使っている行列Tの逆行列は、以下のようにして計算できる。
こうして、双対曲線7’(又は7’’)が得られた。
(解答おわり)

【解答2】
 2次曲線にしか使えない方法はつまらないので、3次以上の曲線の双対曲線の計算にも使える以下の方法で双対曲線を計算する。
 この曲線1に点(x,y)で接する直線を、以下の式8であらわす。
 この式1に式8を代入してyを消去する。
 式8が式1に接するので、式8を式1に代入して得た式9では、接点のx座標が重根になっているハズである。その重根をgxとすると、
(x-gx) の2乗の式が式9の左辺にある。
その2乗の式を微分しても、なお、(x-gx)が消えずに左辺に残る。
そのため、式9を微分した式11も、(x-gx)を左辺に持つのでその重根gxを根の1つに持つ。

式9と式11が共通する根gxを持つので、
式9の係数と式11の係数で作るシルベスターの行列式が0になる。
それを計算することで、ベクトルUの要素の関係をあらわす式(双対曲線の式)が計算できる。

先ず、fをあらわすxの多項式12を計算し、それを微分してf’をあらわす多項式13を計算する。
 この式12と式13の係数を使ったシルベスターの行列式を計算する。

 これで、求める双対曲線16が計算できた。
(解答おわり)

【解答3】
解答2でシルベスターの行列式を使ったが、
その解答の本質は、与えられた曲線1に接する直線8の係数を求めることにあります。
その解答の本質を見るため、シルベスターの行列式の助けを借りずに、以下の様にしてこの問題を解きます。
 この曲線1に点(x,y)で接する直線を、以下の式8であらわす。
 この式1に式8を代入してyを消去する。
 式8が式1に接するので、式8を式1に代入して得た式9では、接点のx座標が重根になっているハズである。その重根をgxとすると、
(x-gx) の2乗の式が式9の左辺にある。
その2乗の式を微分しても、なお、(x-gx)が消えずに左辺に残る。
そのため、式9を微分した式11も、(x-gx)を左辺に持つのでその重根gxを根の1つに持つ。

式9と式11が共通する根gxを持つので、式9と式11を、ユークリッドの互除法を用いて加減乗除することで、その共通する根gxを解に持つ最大公約多項式(それはxの一次式になるだろう)を計算する。

先ず、fをあらわすxの多項式12を計算し、それを微分してf’をあらわす多項式13を計算する。
この式12と式13の最大公約多項式(xの1次式になるだろう)を、ユークリッドの互除法で、以下の様に計算する。
ここで得た式17と、先に得ていた式13とは、
ともに1次式であるが、 
共通する根gxを持つ。
そのため、式17と式13は係数だけ違う同じ式である。
それゆえ、以下の式18が成り立つ。
以上の計算のように、式18を変形することで、再び式16が得られた。
(解答おわり)

(コメント1)
 数学の専門家は、ミルナー数μ等を駆使して双対曲線を計算するらしい。しかし、それをどのようにして行なうかは、私は勉強不足のため、分からない。

(コメント2)
 式2の代数曲線
F=0
のFを各X(i=0~3)で微分した値が全て0になる点が「特異点」と呼ばれていて、注目すべき重要な点です。
すなわち、(X,X,X)が(0,0,0)以外の点で
0=U=U=U    (17)
となる点が特異点で、それは、双対曲線の原点となっているので分かり易いです。
式5で、行列Tを使ってが計算できます。
=-2X
=2X
=2X/9
ですので、
その値全て0になる点は、
0=X=X=X    (18)
となる点です。これは(0,0,0)なので特異点ではありません。
特異点が有るか無いかを含め、特異点を詳しく調べることで代数曲線の特徴が分かるようです。

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2017年2月13日月曜日

実数に関する問題

【問】
「任意の実数xに対して、

を成り立たせる整数 p,qが存在する」 
なる条件を満たす実数yをすべて求めよ。

【解答】
 実数xに関しては、以下の式2を満足する整数pとqが存在する。
(ディリクレの原理)
更に、この式2の右辺をもっと小さくした以下の式3を満足するpとqが存在することも分かっている。
この式3は、参考文献:「無理数の話」ジュリアン・ハヴィル著:松浦俊輔訳(青土社)の217ページにある。

 この問の趣旨は、この文献を探し当てるまで実数論を勉強し、更にこの文献を発見したら、この文献を読了することではないかと考えます。それこそが、この問に対する真の解答だと考えます。

この式3を満足する限界を与える以下の式4を式1に代入する。
その結果、以下の式が得られる。
そのため、
任意の実数xに関して式1を満足する実数yは、
その実数x毎に、 式3を満足する整数p,qの組を求めた後に、そのうちの整数qによって以下の式6であらわされる式である。
 一方、y=0に固定して、あらゆる実数xについてpとqを選んで式1を満足させるということはできない。
 その理由は、整数p、qを使ってp/qとあらわすことができるのは有理数だけであり、実数の中の無理数は、有理数では無く、無理数と有理数の差の二乗は0にはならないからである。
(解答おわり)

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2017年2月10日金曜日

ペル方程式で解く不定定方程式(難問)

【問】(ペル方程式だけでは解けない難問)
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。


【解答】

ここで、この式2の項の整数12による剰余を考える。
この式3を式2に代入して、以下の式4を得る。
ここで、新たに導入したs,tとx,yの関係を、以下のようにして整理する。
先ず、式3’の不定方程式を解く。
また、式5に式8を代入して式9を得る。

ここで、このペル方程式4を、以下の簡単なペル方程式10にした方が解き易いので、それで解く。
後で適切な解を選別することにする。
上の式12でペル方程式の基底の解を得て、式13で第1の解を得た。これを使って、以下のようにしてペル方程式を解く。
式16の漸化式を得た。
この漸化式を使って、解を求める。
その解から、式9(それを遡った式5)から得る以下の式17を満足する解を抽出する。

この式17の関係を満足する解を抽出する。先ず、基底の解から、以下の解が選別できる。
第1の解からは、以下の通り、適切な解が抽出できない。
 第2の解からは、適切な解が抽出できる。
 
以下は、同様にして、偶数番目の解からは、適切な解が抽出でき、奇数番目の解には適切な解が無い。
そのため、適切な解(偶数番目の解)を求める漸化式を以下の様にして作ることができる。
この式26で得た解のsを式5に代入してyを求める。
そのyと、u/2=tを式3に代入してxを求める。

xが整数になる解は(S12,u12) になって初めて現われるように思ったが、その値が大きいので、それは計算誤差だと考える。

なぜならば、
式8(更に遡り式3)に従ってyは奇数にならなければならない。
しかし、式26の漸化式によると、
=-(12×4+1)
=-(12×4+1120C
=-(12×4+1120C
・・・
2n=-(12×4+1)+120C2n
になる。
そのため、yは、
y=(1+2n)/12
=(1- (12×4)・・-n・(12×4)120C2n)/12
4(12×4)n-1-・・・・-n・(4)+10C2n
になり、
yは偶数になってしまう。

漸化式によってyが偶数と計算されるので、式3によってyが奇数でなければならないことと矛盾する。
そのため、式1は整数解を持つことができない。
(解答おわり)

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2017年2月3日金曜日

不定方程式の解き方

【問1】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
 以下の様に式を書いて、右辺の数値をユークリッドの互除法で引き算して行き、式の左辺の項を、右辺の数値の加減乗除にリンクして設定する。
この計算で式2が得られた。
次に、この式2に、以下の(整数)変数nを導入して、式3を得る。
式3を式1と対比させることで、

不定方程式1のxとyの全ての整数解を、整数変数nを使った式4と5であらわす。
(注意点)
 ここで式4と5に付け加える7nと5nの係数7と5が最小公倍数を持つ場合は、その最小公倍数で割り算した値にして式に加える必要がある。
(解答おわり)
 
【問2】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
 uを予め与えられた整数と考えて問1と同様に解く。
 (解答おわり)

【問3】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
 xの係数とyの係数の最大公約数=2を求めて解く。
 (解答おわり)

【問4】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。
【解答】
次に、この式2に、以下の(整数)変数n1からn3を導入する。

しかし、これで解答は終わりでは無く、2つの変数nとnの式の部分は、以下の様に1つの変数nの式にまとめられます。
(これは大学の数学専門課程レベルですので、この問題は大学入試には出題されないと考えます)

式1のxの係数4とyの係数(-6)の最大公約数をcとします。
c=2になります。
そして、式1の左辺から、以下の式10を作り、式1を満足するaとbを求めます。
 この係数a,b,cと変数n変数nを使って、以下の式でx,y,zがあらわせます。
(解答おわり)

(別解のコメント)
 ここで、式10を計算して変数nの式を求める方法以外に、以下のようにして変数の式を計算することもできる。
その計算は、式6,7,8の変数n変数変数nの式が独立では無いことを利用して、以下の様に解く方法である。

zを与える式8において、
(A)変数nの式の係数(-4)と数nの式の係数(2)の最大公約数(2)を求める。
(B)その最大公約数(2)を係数に持つ変数の項だけを式8に設定する。
この場合は、式8の右辺を2nだけにする。それは、数n=0とすることを意味する。
(C)変数n=0とした式6’,7’,8’が解である。
この解の変数nをn-nとすれば、先の解に一致する。

また、式6,7,8に対して:
yを与える式7において、
(A)変数nの式の係数(2)と数nの式の係数(1)の最大公約数(1)を求める。
(B)その最大公約数(1)を係数に持つ変数の項だけを式7に設定する。
この場合は、式7の右辺を-1+nだけにする。それは、数n=0とすることを意味する。
(C)変数n=0とした式6’’,7’’,8’’も解である。

【解答3】
 式1を、以下の様に、式12と式13との2つの式に変換して、それぞれの不定方程式を解いて、解を合わせれば良い。
この解答は省略する。

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