2017年1月8日日曜日

条件付き確率の問題文の意味

以下の例題1から4を参考にして、「条件付き確率」の意味を説明する。

【例題1】
 2枚のコインを投げて裏が出ているコインが有ると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか?

【解答】
 この基本樹形図を使うことで、 
コインが2つとも裏である条件付き確率は、1/3である。
(解答おわり)

【例題2】
 2枚のコインを投げて、1つのコインAに裏が出ていると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか?

【解答】
 この基本樹形図を使うことで、 
コインが2つとも裏である確率は、1/2である。
(解答おわり)

【例題3】
 2枚のコインを投げて、1つのコインBに裏が出ていると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか?

【解答】
 問題の解き方の視点を変えたこの基本樹形図を使っても、 
コインが2つとも裏である確率は、1/2である。
(解答おわり)

(疑問1)
 コインAが裏である場合のコインBが裏の確率が1/2であり、コインBが裏である場合のコインAが裏の確率が1/2であるのに、なぜ、コインAかコインBのいずれかが裏である場合の、それ以外のコインが裏である確率が、それらと異なる値の1/3になるのか?
(理由)
 コインAかコインBのいずれかが裏である場合には、コインAが裏である場合とコインBが裏である事象が独立に有るわけでは無い。
 コインAが裏である事象とコインBが裏である事象は同時に生じることができる。
 そのため、コインAが裏である事象とコインBが裏である事象を合わせて、コインAかコインBのいずれかが裏である事象を構成するとき、事象同士が干渉して確率の値を変えるという現象が起きたと考える

【例題4】
 2枚のコインを投げて、1つのコインに裏が出ていると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか?
(問題のあいまいさ)
 この例題4は、
(1)1つのコインを調べて、表であるか裏であるかを確認したら、裏が出ていると判った。このとき両方のコインが裏である確率はいくらか?
という意味の問題であると解釈したら、
例題2か例題3の問題であるので、
答えは1/2である。

 しかし、この例題4を、
(2)コインAとコインBを両方とも調べた結果、いずれか1つのコインに裏が出ていると判った。このとき両方のコインが裏である確率はいくらか?
という意味の問題であると解釈したら、
例題1の問題であるので、
答えは1/3である。

 例題4のように、どうにでも解釈できる意味不明な問題(愚問)もあり得るので、 問題文を良く読んで、愚門は解かないように注意しましょう。
(補足)
 例題4を以下の文に書き直したら、
2枚のコインを投げて、いずれか1つのコインに裏が出ていると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか?」
という文にすれば、
例題1の問題であることが明確になる。

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