2016年10月9日日曜日

第2講第1節 直線の方程式の持つ意味

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

第2講第1節 直線の方程式

直線の方程式の一般形は、
ax+by+c=0 (式1)
である、
と教わります。

この一般形により、
x=1
という直線もあらわすことができるからです。

以下で、直線の式を(式1)で表すことで得する他のメリットを考えます。

(直線の方程式の一般形の持つ意味)
この式1を少し変形した式:
ax+by=d (式2)
を考えます。
ここで、右辺にdの二乗を使ったのは、
この式2の全ての文字定数と変数(a,b,x,y,d)に長さの「次元」を持たせて、
式に、次元の色合いを付けるためです。

式に次元の色合いを付けると、式の中の各項の次元が全て同じになります。
その式を変形しても、その式の中の各項の次元が全て同じになります。次元が異なる項を持つ式は計算間違いです。
これにより、計算間違いを見つけやすいという得をします。

この式2の表す直線と原点の間の距離OHを、以下の図で計算します。
点C(a,b)を考えると、距離OHと、距離OCとの積はになります。
実は、この式2は、後に勉強する「ベクトル」の内積の式であって、
直線2上の点Z(x,y)について、 ベクトルOHとベクトルOZの内積がになるという式をあらわしています。

直線の式をこの式2の形で表すことは、「ベクトルの内積の式」を導き出す源泉になるという価値があります。

(補足)
 式1(及び式2)の係数a,bは、直線の垂直な線分OCの端点Cの座標という意味を持っていることがわかりました。点Cの座標は、計算の見通しを良くするために、点Cの記号に添え字を付けた記号であらわします。
C=(c,c )です。
それに従って、式2の直線の式も、以下の式3であらわすことが望ましい。
x+cy=d (式3)

一方、直線の式を、以下の式4であらわして、(x,y)の次元を長さの逆数と解釈することができます。
x+cy=1 (式4)
この直線の式4は、上の図のように、OCの長さcの逆数の長さがOHになる関係をあらわしています。

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