2016年10月9日日曜日

直線の方程式はベクトルの内積の式/点と直線の距離

【直線の方程式の持つ意味】
 直線の方程式の一般形は、
ax+by-c=0 (式1)
である、
と教わります。

この一般形により、
x=1
という直線もあらわすことができるからです。

以下で、直線の式を(式1)で表すことで得する他のメリットを考えます。

(直線の方程式の一般形の持つ意味)
この式1を少し変形した式:
ax+by=d (式2)
を考えます。
ここで、右辺にdの二乗を使ったのは、
この式2の全ての文字定数と変数(a,b,x,y,d)に長さの「次元」を持たせて、
式に、次元の色合いを付けるためです。

式に次元の色合いを付けると、式の中の各項の次元が全て同じになります。
その式を変形しても、その式の中の各項の次元が全て同じになります。次元が異なる項を持つ式は計算間違いです。
これにより、計算間違いを見つけやすいという得をします。

【直線の方程式はベクトルの内積の式です】
 下図のように、直線の式1の未知数xとyの係数の作るベクトル(a,b)は、直線に垂直である。このベクトルは直線の法線ベクトルです。このベクトルは長さを変えて単位ベクトルvにして考えると考えやすい。


【直線の方程式1は(x,y)位置ベクトルの単位ベクトルv(法線ベクトル)への正射影の長さが一定の関係をあらわす式である】

上の式が成り立つ。
 直線上の点Z(x,y)と点Z0(x0,y0)とを結ぶ直線に平行なベクトルは、直線の法線ベクトルvに垂直である。そのため、以下の式が成り立つからである。

 直線上の点Zと直線の外の点Pとを結ぶベクトルと直線の法線の単位ベクトルvとの内積は、ベクトルZPの法線ベクトルへの正射影の長さである。その長さは、点Pと直線との距離(正と負の符号の別がある)をあらわす。
上図のように、点Z又は点Pの位置ベクトルの、単位ベクトルvの方向への射影の長さがあらわされる。
 そのため、点Pの、式1の直線への距離は、以下の式5で計算でき、法線ベクトルvへの点Pの位置ベクトルの射影の長さと直線の点Zの位置ベクトル(x,y)の射影の長さの差であらわされる。
 ただし、点と直線の距離は、射影の長さの絶対値であることに注意すること。すなわち、点Pの、直線への距離がhである場合は、法線ベクトルvへの位置ベクトルOPと直線の点Zの位置ベクトルOZ=(x,y)の射影の長さの差は±hの2つあることに注意すること。

リンク:
ベクトルの視点で見える直線の式の意味
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