2016年10月29日土曜日

三角関数の難問

【問1】 
以下の図形のtanθを求めよ。
(注意)この問題は、ラングレーの問題と呼ばれている有名な問題で、難問です。

当ブログでは、三角関数を使って問題を解きます。数Ⅱ以上を学んで、三角関数の加法定理等を学んだ後にこの問題を解いてください。

数Ⅱ以上を学んだ学生は、この問題は難問ですが、解けるかどうかチャレンジしてください。

当ブログでは、三角関数の問題として解きましたので、
読者も三角関数で解いてみてください。
(ただし、数学の心に従い解き方は自由です。三角関数を使わないで解いて、後で三角関数の答えを計算して答えを書いてもかまいません。) 

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2016年10月16日日曜日

二重根号を外す問題

【問1】 a≧0, b≧0の場合に、
以下の式の二重根号を外せ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

【問2】 a≧b, b≧0の場合に、
以下の式の二重根号を外せ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
答えが分かったら、解答の(補足)の説明も読んでおいてください。

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2016年10月10日月曜日

二重根号の外し方

【問】 以下の式の二重根号を外せ。
 

【注意】
 二重根号の外し方は「嘘っぽい」方法が使われます。
そのため、その方法を覚えられない高校生が多いのではないかと思います。納得できないことは覚えないでかまいません。
 そのため、この問題は解けなくてかまいませんので、問題が解けないか、あるいは問題が解けるかで、この問題への対応がひと段落したら、
この行をクリックした先に、二重根号の外し方の4つの方法と、その方法の嘘っぽさの弁護を書きましたので、見ておいてください。

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受験生が苦労する因数分解

【問1】 以下の式を因数分解せよ。
-7x+1

【注意】 この問題は、大学入試問題に出題される因数分解ですので、高校1年では出題されないかもしれません。

しかし、この問題の解き方には、
(1)正しい解き方ではあっても、障害物を越える時間をかけなければならない解き方と、
(2)その障害物が出てこない平坦な計算の道を通る解き方と、
の2つの解き方があります。

そのため、この問題を解いた後で、
この2つの解き方の解答(ここをクリックする)を見て、
確認しておいてください。

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2016年10月9日日曜日

第2講第1節 直線の方程式の持つ意味

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

第2講第1節 直線の方程式

直線の方程式の一般形は、
ax+by+c=0 (式1)
である、
と教わります。

この一般形により、
x=1
という直線もあらわすことができるからです。

以下で、直線の式を(式1)で表すことで得する他のメリットを考えます。

(直線の方程式の一般形の持つ意味)
この式1を少し変形した式:
ax+by=d (式2)
を考えます。
ここで、右辺にdの二乗を使ったのは、
この式2の全ての文字定数と変数(a,b,x,y,d)に長さの「次元」を持たせて、
式に、次元の色合いを付けるためです。

式に次元の色合いを付けると、式の中の各項の次元が全て同じになります。
その式を変形しても、その式の中の各項の次元が全て同じになります。次元が異なる項を持つ式は計算間違いです。
これにより、計算間違いを見つけやすいという得をします。

この式2の表す直線と原点の間の距離OHを、以下の図で計算します。
点C(a,b)を考えると、距離OHと、距離OCとの積はになります。
実は、この式2は、後に勉強する「ベクトル」の内積の式であって、
直線2上の点Z(x,y)について、 ベクトルOHとベクトルOZの内積がになるという式をあらわしています。

直線の式をこの式2の形で表すことは、「ベクトルの内積の式」を導き出す源泉になるという価値があります。

(補足)
 式1(及び式2)の係数a,bは、直線の垂直な線分OCの端点Cの座標という意味を持っていることがわかりました。点Cの座標は、計算の見通しを良くするために、点Cの記号に添え字を付けた記号であらわします。
C=(c,c )です。
それに従って、式2の直線の式も、以下の式3であらわすことが望ましい。
x+cy=d (式3)

一方、直線の式を、以下の式4であらわして、(x,y)の次元を長さの逆数と解釈することができます。
x+cy=1 (式4)
この直線の式4は、上の図のように、OCの長さcの逆数の長さがOHになる関係をあらわしています。

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