2016年4月16日土曜日

円と直線の交点(1の2)の別解



【問1】座標原点を中心にする半径rの円(x+y=r)と直線ax+by=cとの交点の座標を求めよ。


(地道な計算練習を心がけよう)
 直観的に答えを求める解法を見つける感覚を磨くことも必要ですが、その他に、数学の力を薄っぺらな表面的なものにしないために、地道に方程式を解く計算練習を心がけましょう。
(1)方程式の難しい式を単純な形の式にして無理無く計算するコツを身につけましょう。

(方程式を計算するコツ)
 複雑な式の項を新たな記号の項に置き換えるときは、用いる新たな記号は、その記号の値の単位を最小単位にする方が良い。
例えば、記号aやbやrの単位である[長さ]は最小単位です。一方、記号cの単位は[面積]であって、[長さ]の2乗であり、最小単位ではありません。
 そのため、cは[長さ]の単位を持つαの2乗に置き換えることで、式の計算を見通し良くします。

 方程式では、足し合わされる項は必ず単位の同じ項のみが足し合わされます。足し合わされる項の単位が食い違っている式は誤りです。

 その単位の食い違い、すなわち式の間違いを発見し易くするために、できれば、式の全ての記号を、単位が[長さ]の記号に揃えることが望ましいのです。

(なお、単位が無い無次元量の記号もありますので、無次元量の記号には目印を付けて分かりやすくします) 




(先ず、方程式を書きます)

この第1項の係数を単純化する記号dを以下で定義します。
このようにdの2乗の式で定義する理由は:
の式のように、覚え易い整った式を導入するためです。
覚え易い式を導入することで、
この式を応用してaを直ぐにdに変換するアイデアを出やすくするためです。
 特に、式(6’)の右辺の式が現れたら直ぐに気付いて1に単純化できるようにするためです。

式(5)に式(6)を代入して式の形を簡単にします。
以下で、この式(7)の右辺を単純化します。
上の式の計算では、式(6’)を想起して使いました。
 上の式の中に式(6’)の形の項が現れた際に、それを速やかに発見して式を単純化できるためには、dを導入した際に生まれた式(6’)が覚え易い事が必要でした。

こうして得られた結果を式(7)に代入します。
この式(8)の記号dを元の記号に戻すため、記号dの式を整理します。
式(8)に、式(9)と式(3)と式(4)を代入します。
以下の計算でこのルートの中の式を何度も書く手間を省くため、√gを定義しました。
 √gの形でgを定義する理由は、この√gは仮の形であって、計算の最後には速やかに元の式に戻すために、目印として√を加えてgを定義します。
以上の計算で得たxとyの式を以下の様に整理します。
このように地道に計算して、交点AとBの座標が求められた。
(解答おわり)

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