2016年4月13日水曜日

円と直線(問1の別解)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)と、直線3x+2y=kとが接する場合のkの値を求めよ。

(地道な計算練習を心がけよう)
 直観的に答えを求める解法を見つける感覚を磨くことも必要ですが、その他に、数学の力を薄っぺらな表面的なものにしないために、地道に方程式を解く計算練習を心がけましょう。
(1)方程式の難しい式を単純な形の式にして無理無く計算するコツを身につけましょう。
(2)式が急に易しくなる計算の大切な分岐点をしっかり覚えましょう。

(まず、方程式を書く)
上の計算では、計算の式をなるべく単純な形の式で記述するため、複雑な形の項をaとkに置き換えて表します。
この整った式で、xの解が重根になり1つの値のみが解になる場合が、直線が円に接する条件を満足します。それは、上の式で右辺が0になる場合です。

右辺が0になるためには、右辺の分子が0になるだけで良いので、その分子を求めるために、以下の様に、分母を共通化させた式に変形します。
右辺が0になるためには、右辺の分子が0になるだけで良いので、以下の式に単純化されます。
ここで、aとkの式(3)と式(4)を代入してkの値を計算します。
よって、もとめるkの値は、

k=±√13
の場合に、直線が円に接します。

これが直線が円に接する場合のkの値です。
(解答おわり)


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