2016年4月29日金曜日

複素数平面を使うとベクトルの計算が楽になる

http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_2.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html
複素数平面を使えばベクトルの計算が楽になります。
以下の難問を、複素数平面を利用して、ベクトルの内積を使って解きます。

【難問】三角形ABCにおいて
2cosA+cosB+cosC=2 (式1)
が成り立っていれば、
2sinA=sinB+sinC (式2)
が成り立つことを証明せよ。

(注意)この問題は、「加法定理」の例題として出されていましたが、
必ずしも加法定理を使って解くものとは限らない。
以下に説明する証明の計算で加法定理は使わないで証明する。
そして、三角形の正弦定理sinA/|a|=1/(2R)・・・を使うことが、解答のために本質的に重要。

【重要な注意】
式1のcosの式を、加法定理その他の三角関数の変換定理で変換しても、式2に至りません。そのように、三角関数の計算の自由度は低いです(加法定理などで変換できる式も少しはありますが)。
そのため、三角関数(特に三角形の角度の三角関数)問題を自由に解くためには、三角関数の式を、なるべく、ベクトルの式やxy座標の式に変えて計算する必要があります。

(予備知識)
受験問題のときは、三角形の角度のsin、cos(三角関数)の式の証明問題は、三角関数の式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。ベクトルを利用して図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

(問題をより易しい問題に変換してから解くこと)
証明すべき対象の
2sinA=sinB+sinC (式2)
を直接証明しようとする前に、この式を、図形の問題として、わかる限り、問題をかみくだいて易しい問題に変換しておいてから問題を解きます。

三角形の正弦定理sinA/|a|=1/(2R)・・・を使うと、
2sinA=sinB+sinC (式2)
は、以下の式に書き直せます。
2(|a|/(2R))=(|b|/(2R))+(|c|/(2R))
2|a|-|b|-|c|=0 (式3)
問題がここまで易しくなります。
三角形の辺の長さの関係の式3を証明すれば良いです。

(式1の変形の方針)
正弦定理を使って、証明するべき式2のsinを消去して易しくしたように、複素数平面上でのベクトルの内積の式を使って、元の条件の、式1のcosを消去します。

この式を使って、式1を以下のように書き直します。
これにより、式1から式3が導けた。
(ただし、ベクトルbとベクトルcが同一方向を向いて∠A=0の場合も解になります。)
(解答おわり)

(コメント)
 以上の計算はベクトル記号を使って計算を記述して解答できます
 しかし、複素数平面上でベクトルを複素数で記述して計算する方が、(ベクトルの"→"記号を書く必要が無いので)式を書くのが楽になり、便利です。

リンク:
ベクトル記号を使った解答
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2016年4月17日日曜日

(5)複素数平面での円と直線の交点の別解

http://schoolhmath.blogspot.jp/2013/07/blog-post_28.html

大学への数学(旧数B:複素数)の勉強 

【問1】
下図のように複素数平面に、原点を中心とする半径1の円がある。
そして、複素数平面に描いた直線上の点をあらわす複素数z=x+iyとあらわす(xとyは実数とする)とする場合に、直線上の点のxとyの関係がax+by=1であらわされるものとする。
その直線とその円との交点BとCの点をあらわす複素数を求めよ。

(地道な計算練習を心がけよう)
 直観的に答えを求める解法を見つける感覚を磨くことも必要ですが、その他に、数学の力を薄っぺらな表面的なものにしないために、地道に方程式を解く計算練習を心がけましょう。
(1)方程式の難しい式を単純な形の式にして無理無く計算するコツを身につけましょう。

(方程式を計算するコツ)
 記号xやyには[長さ]を単位にする記号を使いたい。

 方程式では、足し合わされる項は必ず単位の同じ項のみが足し合わされます。足し合わされる項の単位が食い違っている式は誤りです。
 上の図の式において単位の食い違いを生まないためには、上の図の記号xとyには[長さ]の単位が与えられず、xとyは単位の無い無次元量とするしかありません。

 記号xやyを[長さ]を単位にする記号にするために、以下の図のように数式を定義して、記号xとyに[長さ]の単位を与えて問題を解くことにします。 

 この図のように記号を定義すると、
記号x,y,a,b,rに[長さ]の単位を与えることができます。
(なお、単位が無い無次元量の記号 t には目印を付けて分かりやすくします。)  

 こうして記号に[長さ]の単位を与えた方程式では、足し合わされる項は必ず単位が同じ項のみが足し合わされます。足し合わされる項の単位が食い違った式は誤りです。
 この単位の食い違いをチェックすることで式の計算間違いを発見し易くなるので、こうするととても良いです。

(先ず、方程式を書きます)

式(2)に式(1)を代入して計算します。


 この最後の式の第1項が複雑なので、第1項を新たな記号の項に置き換えます。

 その置き換えに用いる新たな記号は、その記号の値の単位を最小単位の[長さ]にする方が良い。
 それは、式の記号を[長さ]の単位を持つ記号に揃えると、式の計算ミスによる単位の食い違いを発見し易くなり都合が良いからです。
 そのため、単位が[長さ]の記号Rを以下の様に定義して、その記号Rを使って第1項を簡単化します。
以下で、記号Rを使って第1項を簡単化します。

この式の右辺の分子=
この結果を使って上の式を簡単化します。
 
 次に、1-tも計算しておきます。
次に、tと(1-t)を使って、zをあらわします。
このように地道に計算して、交点AとBの座標が求められた。
(解答おわり)

 以上の、複素数平面における地道な計算は、複素数平面を使わないで従来の座標系で行なう地道な計算よりも楽になりました。
 そのため、複素数平面は高い価値を持つと考えます。

リンク:
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2016年4月16日土曜日

円と直線の交点(1の2)の別解



【問1】座標原点を中心にする半径rの円(x+y=r)と直線ax+by=cとの交点の座標を求めよ。


(地道な計算練習を心がけよう)
 直観的に答えを求める解法を見つける感覚を磨くことも必要ですが、その他に、数学の力を薄っぺらな表面的なものにしないために、地道に方程式を解く計算練習を心がけましょう。
(1)方程式の難しい式を単純な形の式にして無理無く計算するコツを身につけましょう。

(方程式を計算するコツ)
 複雑な式の項を新たな記号の項に置き換えるときは、用いる新たな記号は、その記号の値の単位を最小単位にする方が良い。
例えば、記号aやbやrの単位である[長さ]は最小単位です。一方、記号cの単位は[面積]であって、[長さ]の2乗であり、最小単位ではありません。
 そのため、cは[長さ]の単位を持つαの2乗に置き換えることで、式の計算を見通し良くします。

 方程式では、足し合わされる項は必ず単位の同じ項のみが足し合わされます。足し合わされる項の単位が食い違っている式は誤りです。

 その単位の食い違い、すなわち式の間違いを発見し易くするために、できれば、式の全ての記号を、単位が[長さ]の記号に揃えることが望ましいのです。

(なお、単位が無い無次元量の記号もありますので、無次元量の記号には目印を付けて分かりやすくします) 




(先ず、方程式を書きます)

この第1項の係数を単純化する記号dを以下で定義します。
このようにdの2乗の式で定義する理由は:
の式のように、覚え易い整った式を導入するためです。
覚え易い式を導入することで、
この式を応用してaを直ぐにdに変換するアイデアを出やすくするためです。
 特に、式(6’)の右辺の式が現れたら直ぐに気付いて1に単純化できるようにするためです。

式(5)に式(6)を代入して式の形を簡単にします。
以下で、この式(7)の右辺を単純化します。
上の式の計算では、式(6’)を想起して使いました。
 上の式の中に式(6’)の形の項が現れた際に、それを速やかに発見して式を単純化できるためには、dを導入した際に生まれた式(6’)が覚え易い事が必要でした。

こうして得られた結果を式(7)に代入します。
この式(8)の記号dを元の記号に戻すため、記号dの式を整理します。
式(8)に、式(9)と式(3)と式(4)を代入します。
以下の計算でこのルートの中の式を何度も書く手間を省くため、√gを定義しました。
 √gの形でgを定義する理由は、この√gは仮の形であって、計算の最後には速やかに元の式に戻すために、目印として√を加えてgを定義します。
以上の計算で得たxとyの式を以下の様に整理します。
このように地道に計算して、交点AとBの座標が求められた。
(解答おわり)

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2016年4月13日水曜日

円と直線(問1の別解)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)と、直線3x+2y=kとが接する場合のkの値を求めよ。

(地道な計算練習を心がけよう)
 直観的に答えを求める解法を見つける感覚を磨くことも必要ですが、その他に、数学の力を薄っぺらな表面的なものにしないために、地道に方程式を解く計算練習を心がけましょう。
(1)方程式の難しい式を単純な形の式にして無理無く計算するコツを身につけましょう。
(2)式が急に易しくなる計算の大切な分岐点をしっかり覚えましょう。

(まず、方程式を書く)
上の計算では、計算の式をなるべく単純な形の式で記述するため、複雑な形の項をaとkに置き換えて表します。
この整った式で、xの解が重根になり1つの値のみが解になる場合が、直線が円に接する条件を満足します。それは、上の式で右辺が0になる場合です。

右辺が0になるためには、右辺の分子が0になるだけで良いので、その分子を求めるために、以下の様に、分母を共通化させた式に変形します。
右辺が0になるためには、右辺の分子が0になるだけで良いので、以下の式に単純化されます。
ここで、aとkの式(3)と式(4)を代入してkの値を計算します。
よって、もとめるkの値は、

k=±√13
の場合に、直線が円に接します。

これが直線が円に接する場合のkの値です。
(解答おわり)


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