2015年6月14日日曜日

三角形の辺と角の等式を複素数平面で証明




「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の以下の問題を複素数平面を利用して解きます。

【問32】上の三角形ABCにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos(B)-b・cos(A))=a2-b2  (1)

(証明開始)
 この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した以下の(式2)を考えます。
c(a・cos(B)-b・cos(A))-{a2-b2}=0 (2)

この左辺が0になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。

以下では、この問題を以下の複素数平面の図を利用して証明します。
以下の図のa,b,cは複素数とし、上式のa,b,cは|a|,|b|,|c|に書き直して計算します。
ベクトルaとcの内積、及びベクトルbとcの内積が以下の式であらわされる。
であるので、
上の(式2)の左辺は、以下のようにあらわして計算できます。
(証明おわり)

(補足)以上の計算は、途中から、以下のように計算する方が無理が無く計算できます。


 この問題は複素数平面(又はベクトル)を利用しないで解いた場合は、けっこう難しかったと思います。
 ベクトルの内積をあらわす複素数平面のRe()の計算式を利用して解くと、以上のように簡単に解けるようになりました。


リンク:
第3講「三角形の辺と角」(3)等式の証明
「三角形の辺と角」(2)余弦定理

「三角形の辺と角」(1)正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
高校数学[三角比・図形]一覧
リンク:高校数学の目次

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