2015年6月4日木曜日

複素数計算の公式を覚える

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複素数の計算を推進する以下の公式を覚えましょう。

 複素数平面の計算の公式を覚えると計算が推進されます。
以下の公式は、必ず覚えてください。
以下の公式も覚えてください。
以下の公式も覚えてください。

(この公式の証明は、ここをクリックした先にあります)

以下の公式も覚えて、計算を推進させてください。
また、以下の公式も成り立ちます。
 以上の公式は使う場合が多いと思いますので、覚えておいて、計算の中で必要に応じてすぐ使えるようにしておいてください。

 以下の公式も使う場合が多いと思います。
また、以下の式も大切です。

先の式から、以下の式が成り立ちます。
(上の式で、上から2行目の式と3行目の式は、|α|=|β|の場合には、右辺が第1項のみになります。それを利用して、以下の公式が使えます。)
 実数係数kを利用してβを下式のように絶対値がαと同じ複素数β’であらわします。

以上の公式で、以下の部分が特に重要です。

同様に、以下の公式も使えます。
ただし、kは、βを以下の関係のβ’に置き換える実数係数です。

 以上の式に対しては、任意の実数θとεに関して、
α⇒αexp(iθ)
β⇒βexp(iε)
という式の置き換えを行えます。
その置き換えでは、以下の式の左辺が変化しないので、以下の式が成り立ちます。

 以下の公式も計算の推進の道具にしてください。
上の式に対しても、任意の実数θとεに関して、
α⇒αexp(iθ)
β⇒βexp(iε)
という式の置き換えを行えます。
その置き換えでは、最初の式が変化しないからです。

 以下の公式は、使う場面が少ないので無理に覚える必要は無いと思いますが、このような形に式が変形できるように頭を柔らかくする発想の練習をしておきましょう。



(複素数の切替の公式)
(条件)複素数αとβの絶対値が等しい場合:
以下の公式が成り立つ。
(複素数の切替の公式おわり)
 
(2複素数の非対称共役化の公式)
 この複素数の切替の公式を使うことで、以下の「2複素数の非対称共役化」公式が導ける。

(条件)複素数αとβの絶対値が等しい場合:
以下の公式が成り立つ。



これらの「2複素数の非対称共役化」公式は、以下の問題例の様に使うと良いと思います。
(問題例1)ベクトルの難問を解く
(問題例2)円周角の定理を示す

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