2015年5月9日土曜日

複素数平面で双曲線の特徴を表現する




複素数平面で見た双曲線の特徴も覚えておきましょう。

【双曲線の接線の方程式】
-y=1とあらわせる単純な双曲線の場合は、
以下のような面白い性質があります。

(1)この双曲線は、複素数zの式で、
Re(z)=1
とあらわせます。
(2)この双曲線上の点aで接する接線の式は、
Re(az)=1
とあらわせます。
その接線(z点の集合)は、aの共役複素数があらわすベクトルに垂直です。
そして、その接線の原点からの距離は、
|a|分の1です。

【極点に対する双曲線の極線の方程式】
(3)この双曲線の外の点zから引いた双曲線への接線の接点aとbを結ぶ線を、
極点zに対する双曲線の極線
と呼びます。

 この極点zと極線との間には、以下の図の関係があります。
極点zに対する極線(a)の式は、
Re(az)=1
とあらわせます。
その極線(a点の集合)は、zの共役複素数があらわすベクトルに垂直です。
そして、その極線の原点からの距離は、
|z|分の1です。

 なお、この極線の式は、極点zに関連するきれいな式であらわせますが、接点aとbの式は複雑な式になります。
 そのため、極線を求める問題に直面した場合は、接点の座標を直接に計算しない計算方法で、極線の式を求めるよう工夫してください。(このグラフの極線の式は上の式の通りですので、形が異なるグラフの場合も、この式を導出する方法と類似させた方法で極線を求めてください。) 


【関連する問題】
 -y=1であらわせる双曲線に以下の式であらわされる直線が交差している。
この直線と双曲線の交点2つのそれぞれから引いた双曲線への接線2つの交点(極)を求めよ。

 この問題の解答は書きませんので、自力で解答してください。

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