2015年5月5日火曜日

複素数平面のグラフの変換を逆変換で計算する方法




【問】実数の媒介変数(t)を-∞から∞まで変化させたとき、
z=1/(1+i・t) (式1)
であらわされる複素数zが複素数平面で描く軌跡を示せ。

(解答)

【一番簡単な計算方法】
 一番簡単な方法は、先ず、従う条件が決まっている(it)単体をzの式であらわします。
そのzの式に(it)単体の従う条件の式をあてはめます。
それにより、zが従う方程式が求まります。
 この式は、点1からzまで引いたベクトル(z-1)と、原点からzまで引いたベクトル(z)の内積が0であること、すなわち、それらのベクトルが直交することをあらわしている。
 円周角が直角であるため、点zは、z=0とz=1を直径の両端とする円の上にある。
 その円は、点(1/2)を中心にする半径(1/2)の円である。

ただし、式の前提にz≠0があるので、z=0の点は除く。

(注意)tが全実数範囲を動くときzがこの円の全範囲(z=0の点は除く)を網羅することは、図形を解析して確認する必要があります。

(補足)
 図形的意味を考えて、ここで解答が決着していることに早めに気づくようにしてください。
 計算のみで円の式を導き出さなければならない場合は、以下のように計算を続けます。

【共役複素数を使ってグラフを解析する方法に関する本質的な問題点】
 共役複素数を使ってグラフを表現する方法では、以下の双曲線のグラフを変換した場合のグラフの形がどういう形になるかを解析することができません。
 要するに、グラフを複素数zとその共役な複素数で表した場合、そのグラフの形が理解できるのは、答えのグラフが、直線か円かの、よく知られた形のみに限定されます。
 自分の知らないグラフに対しては新しい情報を得ることができないという、有用性が限定された手法です。

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