2015年5月23日土曜日

複素数平面での正5角形の求め方




【問2】X=1の解を求めよ。
-1=0

この方程式の5つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、

が、X-1=0
の5つの解です。

は、複素数平面上で、0と1を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに2π/5ラジアン回転した位置にあり、更に、順次に2π/5ラジアン回転した位置が、この方程式の解です。

それらの解は、の累乗であらわせます。
=X
=X
=X
です。


ここで、一旦、この問2から離れて、
5次方程式の根と係数の関係の1つの以下の関係について考察します。


この関係を整理すると、以下の式になります。
このように定理が得られたのですが、この定理を証明せよと求められたら、証明のし方が以下の2つあります。
【解1】
 式①から式②を導く。
(これは、既に示しました。)

【解2】
 以下のようにして、絶対値が1の複素数Xを基準にした式を使って証明できます。

この解き方をすることで以下の教訓が得られました。
「この問題は、絶対値が1の複素数Xを基準にして、全ての解をXの累乗に置き換えた式を使うときれいに解ける。」

更に、次の定理も証明しましょう。

【問3】 
【解】
先ず、以下の置き換えをします。
以下のように式を変形します。
この問題も、絶対値が1の複素数Xを基準にして、全ての解をXの累乗に置き換えた式を使うときれいに解けました。

次に、問2に戻って、5次方程式の解き方を考えます。
【問2】
このように因数分解できたので、以下の4次方程式③を求める問題に変わりました。
この4次方程式③を2つの2次方程式に因数分解して問題を解く方法があります。
それは力仕事の計算になると思います。

一方、今までに得た知識を使って、以下のように解くと、
2次方程式を解く計算になるので、
少し楽のように思います。
定理1(式②)を使うと、以下のように問題が解ける利点があります。

この式②を、cos(2π/5)=tであらわした式④に書き換えます。
(注意)
 ここで、式②を、cos(4π/5)=tであらわした式に書き換えた場合も、
その場合に(2t-1)のあらわすcos(8π/5)がcos(2π/5)に等しいので、
式②から作るその式も式④と同じ式になります。

 それを理解しているならば、
すなわち、
「この式④は、tの解が
cos(2π/5)とcos(4π/5)とを解に持つ式である」
ことを理解しているならば、
この式④から、cos(2π/5)とcos(4π/5)との2つの解を得ることができます。

 以下では、それを理解していない場合の、
(それでも正しい解答ですが) 解答を書きます。
この式のtを与える2つの解のうちからcos(2π/5)をあらわす適切な解を選びます。
--(注意)-----------
ここで、二重根号が出て来たので、この二重根号は外すことができるか以下のチェックをします。
10-4×5=80⇒平方根が無理数になる、
ので、この二重根号は外せません。
-------------------

これで1つの解が得られました。
この解に式②を使うと、
もう1つの解の実数成分cos(4π/5)が得られ、
その虚数成分も計算することでもう1つの解も得られます。

この2つの解の共役複素数が残りの2つの解になります。
こうして、全ての解が求められます。

この解き方の方が、4次方程式③を因数分解して解くより少し楽なのではないかと思います。
(人により、どれが楽な解き方か個人差があるかもしれませんが)

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