2015年5月1日金曜日

複素数平面の直線の方程式を初めて見たとき




複素数平面の直線の方程式はベクトルであらわした直線の方程式を覚えましょう。

【直線の方程式】
 以下のように、直線の方程式はベクトルの内積であらわせます。
 この直線の方程式①は、ベクトルで学んだ、ベクトルの内積を使ってあらわした直線の方程式です。ベクトルの直線の方程式と対応するこの式①又は①’を覚えましょう。
 (なお、原点0を通る直線の方程式は、aが0になり使えないので、複素数のパラメータcを使って、
Re(cz)=0
とあらわせます。
(式①の直線に平行な直線は、
という方程式であらわせます。g=0のとき原点を通ります。)

 ちなみに、zとzの共役複素数の各々に任意の係数を掛け算して和を取った式で、zの係数の絶対値とzの共役複素数の係数の絶対値が異なる式などの、直線の方程式ではない式には、zが1点に定まる解があります。
 あるいは、zとzの共役複素数の和(2Re(z))=虚数iという式の様に、そもそもzの解が無い式も作れます。)

 一方、教科書では、複素数平面の直線の方程式として教わるのは、式①を以下の様に変形して得られる式③であり、実数と虚数が入り乱れた複雑な形の式です。
 この式③は、ベクトルbが直線の方向に平行という特徴はありますが、複雑な式です。このような複雑な式は覚えきれません。
 直線の方程式は、覚えやすい形の式①又は①’に変換して把握するようにしてください。

 また、2点αとβを通る直線の方程式も以下の図の式のようになります。この式も、意味がわかるので覚えやすいと思います。

ちなみに、この式を変形して、
という形の式にする計算が必要になったとき、その式のパラメータの複素数aは、以下の図の式になります。
この式も覚えてしまっておけば、計算しないで済むので楽です。
 ただし、この(自分だけの)公式を使うときは、Im(ω)をωの式に展開するときに、虚数iの係数を付けて展開しなければならないのですが、その変換計算がとても間違えやすいという問題があります。
(上の式のように i・Im()というように虚数 iとIm()が一体になっている式の場合にはミスを起こしにくいのですが、Im()が単体で使われている式ではミスがとても多くなります。)
 その計算の改善のために、以下の式のIm()とRe()の関係を利用します。
すなわち、Im(ω)の式を直接にωの式に展開するのは避けて、一旦Re()の式に直してから、ωの式に展開するようにしましょう。例えば、以下のように式の計算を進めます。
 このように、一旦Re()の式に直してから、次のように式を展開しましょう。

【直線をあらわす式の位置づけの補足】
 直線の方程式を含む以下の式のzの解の全貌を考えてみます。
ただし、この式の係数はみな、複素数です。

この式の関係を複素数平面に描くと下図になります。
この図だと、何が何だかわからないので、少し式を変形します。
α≠0の場合について、ωに関する上式を複素数平面に書くと下図になります。
上式のようにωの値が定まりました。
すなわち、zの値も定まりました。

 次に、r=1又はr=-1の場合を考えると、以下のようになります。
最後に、α=0の場合は、以下の式になります。
この場合は、
(1)β=0の場合は、
(1-1)C≠0の場合は解がありませんが、
(1-2)Cも0の場合は、zの解は全ての複素数になります。
(2)β≠0の場合は、zが定まりました。

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