2015年4月12日日曜日

複素数計算で三角形の垂心を求める




べクトルの内積を複素数を使って計算する

 複素数平面であらわした複素数はベクトルです。
以下では、複素数平面上の複素数を用いてベクトルの内積の計算式をどの様に書けば良いかを、以下の問題を例にして説明します。

【問】複素数平面上で、原点0を中心にした半径Rの円がある。その円上の3点の座標を、複素数でα、β、γとすると、その3点が作る三角形の垂心の位置を表す複素数hは、
h=α+β+γ
で表わされる事を証明せよ。



【解答】
h=α+β+γであらわされるとき、
もしhが垂心ならば内積が0になるベクトル(h-α)とベクトル(γ-β)の内積を、
以下の式で計算する。

(注意)
 以上の計算では、複素数zとその共役複素数の差が2i・Im(z)になる公式を前提にして計算しました。大学入学試験レベルの問題に対してならば、その公式を前提にして計算を進めても良いだろうと考えます。

以上の計算の結果、ベクトル(h-α)とベクトル(γ-β)の内積は0になったので、
ベクトル(h-α)とベクトル(γ-β)は垂直である。
 次に、同様にして、互いに垂直であるべきベクトル(h-β)とベクトル(γ-α)の内積を計算する。

以上の計算の結果、ベクトル(h-β)とベクトル(γ-α)の内積は0になったので、
ベクトル(h-β)とベクトル(γ-α)は垂直である。

以上の計算の結果、h=α+β+γは垂心である。
(証明終わり)


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