2015年4月7日火曜日

複素数平面のグラフの方程式の変換は図形で解くこと




複素数平面のグラフの方程式を計算でつなぐ道はがけ崩れで崩壊している

 以下の複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつなぐのはほとんど不可能です。
 複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。

【問】以下の複素数平面のグラフの方程式を簡単な方程式に変換せよ。

【解答】
 このグラフの式(1)は、2つのベクトルの成す角度θのcosθが1/2である式であるので、2つのベクトルの成す角度θは60°です。そのため、円周角の定理から、複素数zの描くグラフは、上図のような2つの円上になります。
 そのうち1つの円の中心は1+i/√3であり、円の半径は2/√3です。
よって、この円のグラフの方程式は、Im(z)≧0のときは、
であらわせます。
(解答おわり)

 この円のグラフの方程式(2)から、以下の式(3)を計算することができます。

 この式(3)は、Im(z)≧0の場合には、式(1)と同じグラフをあらわす式ですが、計算で式(1)を変換して式(3)を求めることはほとんど不可能です。
 そのように計算の障害が大きいので、複素数平面のグラフの式を計算でつなぐ道は、いわば、がけ崩れで崩壊していると言えます。
 そのため、そのグラフの式を変換した式は、上の解答のように図形で計算して求めてください。
 くれぐれも、がけ崩れで崩壊している「計算で式を変換する道」は通らないでください。

(参考)Im(z)≧0の場合には、式(3)の円上の点が式(1)を満足することの、計算による証明

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