2015年4月25日土曜日

自分の計算を楽にする自分だけの公式を覚える

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自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。

 複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていて発見した、計算を近道させる自分だけの公式を覚えましょう。

 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

【自分だけの公式を発見する場合の例】

 以下の様に、複素数平面に書いたベクトルの間の明らかな関係を数式計算で導くことを考えていきます。

【問1】以下の関係を証明せよ。
 このベクトルsとuが垂直であることは、以下の様にして、ベクトルの内積を計算するとわかります。
以上の計算の結果、内積が0なので、ベクトルuとsは垂直である。
(証明おわり)

【問2】ベクトルuとsに以下の関係があることを証明せよ。
【解答1】
 ベクトルsとuは、先に計算した結果、垂直であるので、ベクトル
sとuは±90°回転させた関係にある。
しかも、いずれのベクトルも絶対値が1である。
そのため、複素数の偏角を90°回転させる、絶対値が1の虚数iを掛け算した関係にある。 
すなわち、問題の関係が成り立つ。
(証明おわり)

 以上の証明は、もちろん正しいが、以下の様に計算して証明しようとする困難な道もあります。


【解答2】
 【問2-1】 以下の様にuの2乗が計算できます。


この式を得る途中の計算は、自力で解いてみて下さい。


(この計算の解答はここをクリックした先にあります)


 【問2-2】 以下の様にsの2乗が計算できます。
この式を得る途中の計算は、自力で解いてみて下さい。

(この計算の解答はここをクリックした先にあります)


sの二乗とuの二乗の正負が逆なので、sとuの間には、以下の図に書いた関係が成り立つ。


 ここで、sの二乗やuの二乗をαとβの積で与える式は、自分だけの公式ですので、この公式を使うときは他の人に理解されるように(また、自分もこの公式の確からしさを確認するために)、

きちんと式を展開しましょう。

 しかし、これら、uの二乗やsの二乗をαとβの積で与える公式を導き出す計算には少し時間がかかります。そのため、これらの自分だけの公式を導き出す式の流れを覚えてしまいスラスラと速く書けるようになりましょう。

リンク:
複素数計算の公式を覚える
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