2015年4月29日水曜日

複素数平面を積極的に利用して問題をやさしくする(2)

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複素数平面は三角関数を減らす。

 複素数平面を積極的に三角関数がらみの問題に使って問題をやさしくしましょう。

 複素数平面を利用して以下の問題を簡単にしてみます。

【問1】


【解】
 数Ⅱの三角関数の問題は、複素数平面で考えて、eiθで三角関数のcosθ+isinθを簡単にあらわすようにしましょう。
 数Ⅱの問題は式がごちゃごちゃになると間違え易いので、できるだけ式をきれいな、対称性の良い単純な式であらわすように心掛けて、計算ミスを少なくするようにしましょう。 


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2015年4月28日火曜日

複素数平面を積極的に利用して問題をやさしくしましょう


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複素数平面はベクトルの問題を易しくする。

 複素数平面を積極的にベクトルがらみの問題に使って問題をやさしくしましょう。

 複素数平面を利用して以下の問題を簡単にしてみます。

【問1】 xy平面の放物線 y=x上の3点P,Q,Rが次の条件を満たしている。
△PQRは一辺の長さaの正三角形であり、点P,Qを通る直線の傾きは√2である。
このとき、aの値を求めよ。
 

【解】
 先ず、この問題を図形に描いてみます。
 
 次に、この問題の図形がどう変形して問題の条件に合う図形になるか、少し図形を描いて考える。
正三角形PQRは、線分PQの垂直二等分線上に点Rがある。
また、傾き√2の線分PQを、点PとQを放物線上に置いて平行移動させても、線分PQの中点のx座標は変わらない。
その中点のx座標の値をbとおく。

 線分PQのx軸上への射影の長さを2tとする。
そうすると、求めるべき三角形PQRの辺の長さaは、tの2√3倍である。

 このbとtを使ってP,Qのx座標をあらわしてみる。
 次に、三角形PQRが正三角形になる条件を、複素数平面の以下の式で表現する。
この式の意味は、
「点Pを中心にして、ベクトルPQを、長さを変えずに左回りに(π/3)の角度回転させると、正三角形の頂点Rを与えるベクトルPRになる。」
という意味の式です。

(このように、複素数平面では複素数の掛け算がベクトルの角度を変えるという性質を利用すると、正三角形になるという条件が楽に導入できました。)

 この式は、実部と虚部をともに一致させる式であるので、2本の式に相当します。
 この式と先の式①(あるいは式②と③)を連立させると、未知な点P,Q,Rの3つの座標を確定させる3つの式がそろった。

 そのため、これらの式を連立させることで問題が解けると考える。

 先ずは、この問題の解答を見ずに、自力でこの計算の続きを実行して解答を得てください。

(この続きの解答は、ここをクリックした先にあります)

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2015年4月26日日曜日

自分だけの公式を覚える(2)

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自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。

 複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていて発見した、計算を近道させる自分だけの公式を覚えましょう。

 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

【自分だけの公式(2)】
 この公式は形がきれいですので覚えましょう。
ごちゃごちゃした式がこの様にきれいな式になる事を覚えると、
式をこのようなきれいな形の式に変換する計算をするようになり、
計算が速くなります。

 なお、この公式は、以下の式のように、一見複雑な式で現れることもありますので、覚えておきましょう。

【自分だけの公式(2の2)】
  この自分だけの公式と1セットになる、以下の、もう1つの公式も覚えましょう。
 
 この公式も、以下の式のように、一見複雑な式で現れることもありますので、覚えておきましょう。
この公式は、
「ベクトルβの先端の点から、ベクトルαの描く直線までの、最短距離ベクトル(-h)を与える公式」
でもあります。

【自分だけの公式(2の3)】
  この自分だけの公式に関係がある、以下の、もう1つの公式も覚えましょう。
 上の図のように、ベクトルαを対称軸にした、ベクトルβに線対称なベクトルが上の式であらわせます。これも覚えておくと便利です。
 この公式は、
「ベクトルαが描く原点Oを通る直線に関して、
点βに線対称な点の位置ベクトルの公式」
でもあります。

 この公式は、以下の解答を見ずに自力で計算して証明するようにして下さい。

(解答は、ここをクリックした先にあります)

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複素数計算の公式を覚える
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2015年4月25日土曜日

自分の計算を楽にする自分だけの公式を覚える

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自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。

 複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていて発見した、計算を近道させる自分だけの公式を覚えましょう。

 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

【自分だけの公式を発見する場合の例】

 以下の様に、複素数平面に書いたベクトルの間の明らかな関係を数式計算で導くことを考えていきます。

【問1】以下の関係を証明せよ。
 このベクトルsとuが垂直であることは、以下の様にして、ベクトルの内積を計算するとわかります。
以上の計算の結果、内積が0なので、ベクトルuとsは垂直である。
(証明おわり)

【問2】ベクトルuとsに以下の関係があることを証明せよ。
【解答1】
 ベクトルsとuは、先に計算した結果、垂直であるので、ベクトル
sとuは±90°回転させた関係にある。
しかも、いずれのベクトルも絶対値が1である。
そのため、複素数の偏角を90°回転させる、絶対値が1の虚数iを掛け算した関係にある。 
すなわち、問題の関係が成り立つ。
(証明おわり)

 以上の証明は、もちろん正しいが、以下の様に計算して証明しようとする困難な道もあります。


【解答2】
 【問2-1】 以下の様にuの2乗が計算できます。


この式を得る途中の計算は、自力で解いてみて下さい。


(この計算の解答はここをクリックした先にあります)


 【問2-2】 以下の様にsの2乗が計算できます。
この式を得る途中の計算は、自力で解いてみて下さい。

(この計算の解答はここをクリックした先にあります)


sの二乗とuの二乗の正負が逆なので、sとuの間には、以下の図に書いた関係が成り立つ。


 ここで、sの二乗やuの二乗をαとβの積で与える式は、自分だけの公式ですので、この公式を使うときは他の人に理解されるように(また、自分もこの公式の確からしさを確認するために)、

きちんと式を展開しましょう。

 しかし、これら、uの二乗やsの二乗をαとβの積で与える公式を導き出す計算には少し時間がかかります。そのため、これらの自分だけの公式を導き出す式の流れを覚えてしまいスラスラと速く書けるようになりましょう。

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複素数計算の公式を覚える
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2015年4月18日土曜日

複素数平面上に複素数を書いてベクトルで問題を解く

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複素数平面であらわした複素数はベクトルです。

複素数平面を初めて学ぶ学び方は、
複素数の問題はベクトルの問題に変換して解くことです。
 つまり、複素数平面上に複素数を置いた図を描いて、複素数の問題をベクトルの問題に変換して問題を解くようにすることです。

以下の問題も、そのようにして解いて下さい。

【問題】
 複素数zに対して以下の関係がある。
このとき、複素数
はどの様な数であるか?

(この問題の解)はここをクリックした先にあります。

 この問題も、この解をすぐには見ずに、自力でこの問題を解いて下さい。

(ただし、この問題では、解で見落としやすい(簡単な事なのですが)注意点もありますので、問題を解いた後で、参考に解を見ておいて下さい)

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2015年4月13日月曜日

複素数平面の3点が正三角形になる条件に初めて出会ったとき




【問題】複素数平面上の 三点A(α),B(β),C(γ)が正三角形となる必要十分条件が、以下の式であらわされることを証明せよ。

この問題に初めて出会ったとき、解答を見ずに、自力でこの問題を解くよう努めてください。時間はいくらかかっても良いですから。その方が数学が楽しくなると思いますので。 

(解答例1) ここをクリックした先に解答例があります。
(解答例2)ここをクリックした先に解答例2があります。

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複素数平面での正三角形の条件
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2015年4月12日日曜日

複素数計算で三角形の垂心を求める




べクトルの内積を複素数を使って計算する

 複素数平面であらわした複素数はベクトルです。
以下では、複素数平面上の複素数を用いてベクトルの内積の計算式をどの様に書けば良いかを、以下の問題を例にして説明します。

【問】複素数平面上で、原点0を中心にした半径Rの円がある。その円上の3点の座標を、複素数でα、β、γとすると、その3点が作る三角形の垂心の位置を表す複素数hは、
h=α+β+γ
で表わされる事を証明せよ。



【解答】
h=α+β+γであらわされるとき、
もしhが垂心ならば内積が0になるベクトル(h-α)とベクトル(γ-β)の内積を、
以下の式で計算する。

(注意)
 以上の計算では、複素数zとその共役複素数の差が2i・Im(z)になる公式を前提にして計算しました。大学入学試験レベルの問題に対してならば、その公式を前提にして計算を進めても良いだろうと考えます。

以上の計算の結果、ベクトル(h-α)とベクトル(γ-β)の内積は0になったので、
ベクトル(h-α)とベクトル(γ-β)は垂直である。
 次に、同様にして、互いに垂直であるべきベクトル(h-β)とベクトル(γ-α)の内積を計算する。

以上の計算の結果、ベクトル(h-β)とベクトル(γ-α)の内積は0になったので、
ベクトル(h-β)とベクトル(γ-α)は垂直である。

以上の計算の結果、h=α+β+γは垂心である。
(証明終わり)


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三角形の面積を外接円の半径を使って表わす公式を複素数を使って導く




自分だけの公式を使う練習をしましょう。

 自分だけの公式を使うときは、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにします。

【自分だけの公式(2)の絶対値の計算公式(2)の応用】
 絶対値の計算公式(2)は、三角形の高さhと辺の長さと外接円の半径の関係の公式です。
 この公式を使う練習として、三角形の面積Sを三角形の辺の長さと外接円の半径から求める公式を導く計算をします。
 自分だけの公式を使うときは、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を以下の様に記載して解答します。

【解答例】
 先ず、他の人に理解されるために、以下の様に、自分だけの公式(2)を変形した公式である絶対値の計算公式(2)を導く計算式を解答に書きます。

 次に、この計算結果を変形して以下の式を計算します。
 この式を以下の三角形の面積の式に以下の様に代入して求める式を計算します。
(証明終わり)

 これで、三角形の面積を外接円の半径と三角形の辺の長さとであらわす公式を求める計算を示す解答が完成しました。


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2015年4月11日土曜日

複素数の計算の自分だけの公式(2)




自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚えましょう。

 複素数平面でベクトルの内積を計算する問題を解いていると以下の様な、繰り返される計算のパターンを発見することがあります。その計算のパターンを、自分だけの公式として整理して覚えましょう。
 これは、自分だけの公式ですので、それぞれの計算問題の式の展開を解答用紙に記載する際に、その公式を知らない人に計算過程の正当性が理解されるために、その公式が導き出される式の展開過程を記載して見せるようにしてください。

 そのように、覚えている自分だけの公式の式の展開(言わば、公式の証明)をスラスラと解答用紙の式の計算の中に書いて見せると、一見、式の展開の計算がとても速く見えます。
 しかし、それは、覚えているパターンを繰り返しているだけで、決して人間離れしたわざを持っているというわけではありません。

【自分だけの公式(2)】
 複素数平面での複素数の計算で複素数の2乗に相当する項を1乗の形の簡単な項に変換できる、以下の公式を見出しましたので、その計算過程を含めて覚えておきましょう。
 この公式は、以下の様に計算を進める形で使います。
 この公式(0)は、自分だけの公式であって、この式の様に式の計算を進める形で使うようにしましょう。
 公式(0)は、この図の様な円の中心の位置をあらわす複素数rが分かっているときに、複素数zの式を簡単化する役に立ちます。 


 この公式の中心部分は、以下の計算公式です。この式を覚えましょう。

 この公式(0)から、以下の、ベクトルの内積の展開の公式(1)と、絶対値の式の計算の展開の公式(2)との2つの公式が得られます。

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複素数計算の公式を覚える
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