2015年3月31日火曜日

座標の回転変換の公式を初めて学ぶ学び方




【問】座標の回転変換の公式を複素数平面で導け。
 以下の図のように、ベクトル(X,Y)を、左回りに角度θ回転させたベクトル(X’,Y’)の各座標を、XとYであらわす座標の回転変換の公式を導け。


 上の式で、ベクトル(X,Y)を、左回りに角度θ回転させたベクト(X’,Y’)の座標をあらわすベクトルの回転変換の公式が得られた。

ここで、
(x,y)を(x’,y’)であらわす式と、
(x’,y’)を(x,y)であらわす式とは、
以下の式の様に、θの正負を逆にしただけの式であらわされる、
回転変換式の間の対の関係がありますので、覚えておきましょう。


 この回転変換の公式は常識として、素早く導き出せるようにしましょう。

 この回転変換の公式は、図を目の視線でたどって、
以下の様に場合分けした式の部分を素早く導き出せるようになりましょう。

すなわち、
上の図を思い描いて、図から、

X座標のみがある場合のY’座標が(sinθ)・Xであること。
Y座標のみがある場合のX’座標が(-sinθ)・Yであること。

を想像します。

 次に、それ以外は、係数がcosθの項を加えることで、
下式の回転変換の式ができあがります。
また、計算式は、以下のように視線を動かして、速く計算できるようになりましょう。

リンク:
複素数平面での座標回転を応用した例
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