2013年11月11日月曜日

問題をやさしくする数学(23)スーパーメネラウスの定理



【覚えよう】
 メネラウスの定理とチェバの定理と、その他の定理とを合わせると、以下の図であらわされる、直線上の線分の長さの比の関係があります。
 この関係を全部導き出すのは少し時間がかかりますので、覚えておいて、すぐに計算で使えるようにしましょう。

このスーパーメネラウスの定理は、以下のように問題にあてはめて使います。
【問題】
下図のように、
AF:FE=2:3
BF:FD=4:1
のとき、BE:ECを求めよ。

上のように、スーパーメネラウスの定理を問題にあてはめる連立方程式を立てます。
それを解いて、s,t,uを求め、
BE:EC=t:s=1:1
という解を得ました。
(解答おわり)


【究極の方法】
 メネラウスの定理は、問題を解くために、定理のパターンを図形にあてはめるために時間がかかり直ぐには使えない不便さがあります。
 一方、以下の方法は、メネラウスの定理を一瞬にして証明できる方法です。(チェバの定理を証明する場合は少し時間がかかります)
 この方法を使えば一番速く問題が解けます。
この方法を、上の問題の解き方を例にして説明します。 
問題の平面図形ABCDEFを3次元空間に配置します。
3次元空間での点の高さを括弧()内に書きます。
上図のように点ADCの高さを(0)にし、点Fの高さを(2)にします。
すると、3次元空間での直線DBの点Bの高さは(10)になり、
直線AEの点Eの高さは(5)になります。
直線BECの点間の距離の比については、
点の高さの比を考えると、
BE:EC=(10-5):5= 5:5=1:1
です。
(解答おわり)

(補足)
 良く勉強してこの究極の方法を見つけましたので、この究極の方法があれば、メネラウスの定理は覚えなくて良くなりました。
(良く勉強すれば、覚えなければならない公式を減らせます)
チェバの定理については覚えていた方が良いかもしれません。

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