2013年10月9日水曜日

問題をやさしくする数学:ベクトルの外積で面の法線ベクトルを求める(12)



【問】以下の図で直線BCと直線OGが交差する場合のパラメータbの値を求め、その場合の交点Hの座標を求めよ。

【解答】
 空間直線の交点を求める問題は、いきなり2直線のベクトル方程式を立て、それを無理やり解くのは、計算の見通しが良くないので止めましょう。
 空間直線の交点を求める問題を解く場合は、先ず、交差する2直線が乗る平面の法線ベクトルを計算しましょう。
 そして、直線をその法線ベクトルに直交させる条件を求めることで、その2直線が交点を持つ条件を確定させて計算することが大切です。
 この法線ベクトルは、平面上のベクトルの外積を計算して求めます。
 先ず、以下のようにして、面OBCの法線ベクトルVを計算します。

 次に、この法線ベクトルVにベクトルGが直交する条件を求めます。法線ベクトルVにベクトルGが直交するなら、直線OGは面OBC上にあり、直線BCと交わります。
これで、直線BCと直線OGが交差する場合のパラメータbの値が求まったので、以下のようにして、この値をベクトルGの式に代入してベクトルGを定めます。 
ベクトルGも定まったので、以下のようにベクトル方程式を立てて交点Hを求めます。
 その際に、空間ベクトルをYZ平面に射影して、その射影を見て計算します。
(その理由)
 同一平面上にある空間直線同士の交点を求める方程式は2つで十分であり、3次元ベクトルの計算で出てくる3つの方程式では方程式が1つ余分だから、射影を利用して、その余分な方程式を減らすためです。 

 
(解答おわり)

 ここで、賢明な読者は気付かれたと思いますが、ベクトルGを直線BCと同一平面上に定めた時点で、もうベクトル方程式を使わないでも交点Hの答えが得られるようになっています。
 すなわち、この問題では、直線BCはZ=1の平面上にありますから、ベクトルGのZ座標が1になるようにベクトルGを9倍すれば、交点Hの位置ベクトルが得られます。
 見通しの良い計算をすれば、単純な問題はこのように単純に解けるようになり、計算時間を節約できる効果があります。


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