2013年10月3日木曜日

問題をやさしくする数学の工夫(4)



【問】以下の図の直線MNと直線FLの交点があれば、その交点Pを求めよ。

【解答】

この問題も、パラメータsであらわした直線の式と、パラメータtであらわした直線の式をイコールで結ぶだけで、あとは、計算間違いをしないように細心の注意をして計算していくだけで答えが得られます。

(注意)これらの式は、
「パラメータであらわした、直線上の点の位置の式」と
「パラメータであらわした、直線上の点の位置の式」
と言った方が数学的に正確です。
 交点Pは、直線MN上の点であり、かつ、直線FL上の点ですので、
交点Pでは、直線MN上の点の式=直線FL上の点の式の関係があります。


このベクトル方程式のベクトルa、b、cが、それだけで三次元空間の全ての点をあらわすことができる、線形独立な(他のベクトルの線形結合ではあらわせない)場合に限り、以下の式が成り立ちます。
 
 
このように、変数2つで3つの方程式がありましたが、それでも矛盾無く解けました。
そのため、直線MNと直線FLの交点が存在します。
(2つの空間直線が交差しない場合は、この3つの式は矛盾し、解が無くなります)

解があるので、以下のように、直線の交点Pの位置ベクトルを計算します。

(解答おわり)


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