2013年10月29日火曜日

問題をやさしくする数学(20)論理の問題では余分な部分を無くす

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【問】三角形に関する条件p,q,rを次のように定める。
p: 3つの内角がすべて異なる。
q: 直角三角形でない
r: 45°の内角は一つもない
命題「(pまたはq)⇒r」に対する反例になっている三角形を考えよ。

【解答】
命題「(pまたはq)⇒r」に対する反例は、
(pまたはq)及び(rでない)
です。

これは、
(p及び(rでない))または(q及び(rでない))
と等しい。


pのうち、qである場合はqに含まれていて余分なので、
pについては、p及び(qでない)場合のみを考えて、命題を整理する。
そうして整理した反例は
(p及び(qでない)及び(rでない))または(q及び(rでない))
である。
ここで、
(p及び(qでない)及び(rでない))
については、
上図に書いたとおり、有り得ないことです。
そのため、反例は、
q及び(rで無い)
が成り立つ場合のみです。
(解答おわり)

【別解】
qについては、q及び(pでない)場合のみを考えて、命題を整理する。

(解答おわり)


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