2013年10月2日水曜日

問題をやさしくする数学:アフィン変換(3)



図形の問題をやさしく解こうとする数学の努力の成果の1つにアフィン変換という図形の変換技術があります。
 このアフィン変換では、平行6面体の形をひしゃげた平行6面体に変換します。

以下の問題を例にして、このアフィン変換を利用して問題を解いてみます。

【問】以下の図の直線OBと面DEFの交点Gを求めよ。


【解答】以下のように図に書き込みます。


(1)まず、O点を原点に置きます。
(2)次にD点とA点をX軸上に置いて、D点のX座標を2にして、A点のX座標を5にします。
(3)次に、E点を(2,2,0)の座標に置いて、D点と同じX座標にします。
(後でF点のX座標も2にして、面DEFを、x=2の面にします。)
(4)次に、C点を、CE:EAが1:2でCEAが直線上に乗るように座標値を決めます。
C((2-(3/2)),3,0)です。
(5)次に、F点を、そのX座標がD点及びE点と同じ2になる点に定めます。
Y座標はC点と同じ3にして、
F(2,3,2)
とすると良いでしょう。
(これで、面DEFを、x=2の面にしました。)
(6)次に、B点を、BF:FCが1:2でBFCが直線上に乗るように座標値を決めます。
B((2+(3/4)),3,3)です。
(7)G点は面DEF上の点ですのでX座標が2です。
(8)これで、B点もG点もX座標が定まったので、OG:OBの比sを計算します。
その比はX座標の値の比で計算できます。
s=8/11になりました。
(解答おわり)

 以上のように、ベクトルa、b、cであらわした立体図形を、問題が解きやすい形に変形するのがアフィン変換です。
 このアフィン変換では、直線は直線に変換して、その直線上の線分同士の長さの比は変わらないように、点の移動先の座標を定めていきます。
そして、変換した図形で、ある線分同士の長さの比が求められたなら、その長さの比は、変換する以前の図形の線分間の比と等しいです。


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