2013年10月16日水曜日

問題をやさしくする数学(15)線の垂直線への射影の利用



【問】以下の図で三角形ABCがある。その辺(延長線)上に図のようにDF点を置く。直線ACと線DFの交点をEとする。この場合に、比s=CE/EAを求めよ。

【解答】
 以下では、線DFに垂直なベクトルVへの各ベクトルの射影を見て交点Eにおける比s=CE/EAを求める。
(そのベクトルの射影の長さは、線DFを水平線とした場合のベクトルの高さです)

(解答おわり)

上の解答では、ベクトルFBの高さをzとして、図に順次に、水平線DFに対する各点の高さを書き込みました。

 この問題の解答は④の計算までで終わりですが、
⑤の式のように、計算結果を整理すると、メネラウスの定理が導けました。
 この問題はメネラウスの定理の応用問題だったのです。

 このように、線の垂直線への射影を利用すれば、メネラウスの定理が自然に導けるので、メネラウスの定理を覚えるよりは、線の垂直線への射影の利用方法を優先して覚えてください。
(ベクトルBDとベクトルDCは逆方向なので、線分の長さの比はマイナスとして計算し、積がマイナス1になる式が正確なメネラウスの定理です。
 しかし、この積をプラス1とした式でメネラウスの定理があらわされる場合が多いので、メネラウスの定理の表現は不正確だと思います)


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