2013年10月12日土曜日

問題をやさしくする数学:面の法線への射影の利用(13)



【問】以下の図のように、四面体OABCにおいて、辺ABの中点をEとし、辺OCを2:1に内分する点をFとし、辺OAを1:2に内分する点をPとし、BQ=tBCとなる直線BC上の点をQとする。
 直線PQと直線EFが点Rで交わるとき、実数tの値を求めよ。


【解答】
 直線EFと直線PQが交わる場合は、それらの直線が同一平面上にある場合である。その場合は、面PEF上に点Qが存在する場合である。
 そのため、点Qが面PEF上に乗るようにパラメータtを定めれば良い。
 それを解くために、面PEFの法線ベクトル(面に垂直なベクトル)への各ベクトルの射影を見て点Qにおける、比t=BQ/BCを求める。
(そのベクトルの射影の長さは、面PEFを水平面とした場合のベクトルの高さです)

(解答おわり)

上の解答では、ベクトルPOの高さをzとして、図に順次に、面PEFに対する各点の高さを書き込んだ。

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