2013年9月8日日曜日

ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方



「大学への数学」(ベクトル編)
【余弦定理のベクトルによる導出】
上の三角形ABCにおいて、余弦定理が、ベクトルの内積で簡単に導けます。


(導出開始)
ベクトルp(p,p)があり、ベクトルa(a,a)がある場合に、
ベクトルpとベクトルaの内積の演算を、
(p,p)・(a,a)=・a+p・a (式1)
で定義する。

その定義の結果、ベクトルの内積が、ベクトルの長さの積と、ベクトル同士が成す角度θの余弦cosθとの積であらわされる。
こうして、余弦定理を使わずに導入した式1で定義された内積を使うと:
上の式が三角形の余弦定理です。

(導出おわり)

 この、ベクトルを利用した余弦定理の導出方法を覚えておくと、余弦定理を簡単に思い出すことができます。


リンク:
(1)余弦定理の2番目にやさしい覚え方
(2)ベクトルPと単位ベクトルの内積はベクトルPの単位ベクトルへの射影

(3)高校数学の目次

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