2013年9月30日月曜日

問題をやさしくする数学の工夫(1)


 数学は、本来、難しい問題をやさしく解く方法の探求によって生み出されてきた学問です。
 数学で何か新しい手法を学んだら、「その手法でどの問題がやさしくなるのだろうか」という価値判断で新しい手法を評価するのが良いと思います。

 以下、本シリーズでは、個々の数学手法が、数学のどの問題をやさしくするかという観点で、学んだ数学手法の使い道を解説していきます。

【ベクトルの使い道】三角形の重心の計算が簡単になる。


【思い出してください】三角形の重心はベクトルで以下のように計算できたことを思い出してください。

 この問題は、パラメータsを使ってあらわした直線ADの(式1)と、パラメータtを使ってあらわした直線BEの(式2)をイコールで結んで計算するだけで、その2つの直線の交点Gが計算できます。
(ベクトルであらわした2つの平面の交線を求めるときは同じくそれぞれの面をパラメータを使ってあらわした式同士をイコールで結んで計算するだけで、交線の式が求まります。
ベクトルであらわした3つの平面の交点を求めるときは3つの面の式を互いにイコールで結んで計算すれば良い。)

(解答おわり)
 これで、直線ADと直線BEの交点Gをあらわす式が得られました。
 直線ADと直線CFの交点をあらわす式は、ベクトルbとベクトルcを交換してあらわすことで得られます。その式は上の式と同じになります。よって、直線ADと直線CFの交点が、同じ点Gで交わることが証明できました。

(むずかしい問題がやさしくなったか)
 三角形に描いた3直線が1点(重心)で交わる問題を図形の証明問題として解こうとするとけっこう難しい問題だったと思います。その難しい問題がベクトルを使うことでやさしくなりました。

【問】以下の図の面αと面βの交線を求めよ。

このような問題も、面をあらわす式同士をイコールで結ぶだけで、あとは、計算間違いをしないように細心の注意をして計算していくだけ(それが難しいので訓練が必要ですが)で答えが得られます。

このベクトル方程式のベクトルa、b、cが、それだけで三次元空間の全ての点をあらわすことができる、線形独立な(他のベクトルの線形結合ではあらわせない)場合に限り、以下の式が成り立ちます。




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