2013年9月1日日曜日

ベクトル方程式で三角形の内心の位置ベクトルを求める



大学への数学「ベクトル」編の勉強


【問1】三角形OABの内心(内接円の中心)Dの位置ベクトルをもとめよ。
【解答方針】
ベクトル方程式の問題は、
「2次元空間の全てのベクトルは、2つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、2つのベクトルを決めて、そのベクトルの係数を計算することで求める。



【解答】
2つの独立なベクトルとして、ベクトルOAとベクトルOBを用いることにする。
そして、求めるベクトルODを以下の式(1)であらわす。そして、ベクトルADを式(2)であらわす

ベクトルpとベクトルqの間には以下の式(3)の関係がある。式(3)に(1)と(2)を代入して式(4)が得られる。
式(4)から、以下の式(5)と(6)が得られる。
式(5)と(6)を連立して係数sとtを計算する。先ず、(6)から以下のsを与える式(7)が得られる。
式(7)を(5)に代入してtを計算する。
式(8)を(7)に代入してsを計算する。

(9)を(1)に代入してベクトルODをあらわす。
(解答おわり)

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