2013年9月30日月曜日

問題をやさしくする数学の工夫(1)


 数学は、本来、難しい問題をやさしく解く方法の探求によって生み出されてきた学問です。
 数学で何か新しい手法を学んだら、「その手法でどの問題がやさしくなるのだろうか」という価値判断で新しい手法を評価するのが良いと思います。

 以下、本シリーズでは、個々の数学手法が、数学のどの問題をやさしくするかという観点で、学んだ数学手法の使い道を解説していきます。

【ベクトルの使い道】三角形の重心の計算が簡単になる。


【思い出してください】三角形の重心はベクトルで以下のように計算できたことを思い出してください。

 この問題は、パラメータsを使ってあらわした直線ADの(式1)と、パラメータtを使ってあらわした直線BEの(式2)をイコールで結んで計算するだけで、その2つの直線の交点Gが計算できます。
(ベクトルであらわした2つの平面の交線を求めるときは同じくそれぞれの面をパラメータを使ってあらわした式同士をイコールで結んで計算するだけで、交線の式が求まります。
ベクトルであらわした3つの平面の交点を求めるときは3つの面の式を互いにイコールで結んで計算すれば良い。)

(解答おわり)
 これで、直線ADと直線BEの交点Gをあらわす式が得られました。
 直線ADと直線CFの交点をあらわす式は、ベクトルbとベクトルcを交換してあらわすことで得られます。その式は上の式と同じになります。よって、直線ADと直線CFの交点が、同じ点Gで交わることが証明できました。

(むずかしい問題がやさしくなったか)
 三角形に描いた3直線が1点(重心)で交わる問題を図形の証明問題として解こうとするとけっこう難しい問題だったと思います。その難しい問題がベクトルを使うことでやさしくなりました。

【問】以下の図の面αと面βの交線を求めよ。

このような問題も、面をあらわす式同士をイコールで結ぶだけで、あとは、計算間違いをしないように細心の注意をして計算していくだけ(それが難しいので訓練が必要ですが)で答えが得られます。

このベクトル方程式のベクトルa、b、cが、それだけで三次元空間の全ての点をあらわすことができる、線形独立な(他のベクトルの線形結合ではあらわせない)場合に限り、以下の式が成り立ちます。




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2013年9月29日日曜日

計算ミス対策:判別式の使い方(13)



【再度強調】 判別式を使う問題を見たら、判別式を導出する式の変形を繰り返して(計算用紙に)記述した方が良いです。
 この方法は、判別式を思い出して使う場合より計算時間が増えるということはありません。それを示すため以下の例題とその解きかたの例を追加しますので、判別式を思い出して使う場合と比べてみてください。

【問題】以下の2次方程式が虚数解を持つ場合の定数kの範囲を求めよ。


【解答】

 この3行の計算だけで問題を判別式にあてはめられましたので、時間はかかりません。
(解答おわり)

(補足)
 解の公式や判別式に機械的に数値をあてはめて計算する計算は、同じ数を掛け算した後でまたその数で割り算するといった余分な計算が多く、計算ミスを招きやすい。
 それに対し、上記の計算例のように問題の式に合わせて判別式や解の公式を再導出すると、式が整理されているので余分な計算が避けられ、計算ミスが減る。


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計算ミス対策:判別式の使い方(12)



以下のような、判別式を使う問題を見たら、判別式の思い出しミスを無くし計算を正確にするため、以下のように計算した方が良い。

【問題】以下の2次方程式が異なる2つの解を持つように定数aの範囲を定めよ。


【解答の方針】以下のように判別式を導出する式の変形を繰り返して(計算用紙に)記述した方が良い。

【解答】

 このように計算すれば、式の流れの中で判別式(2)が再現できる。
 それだけで無く、この問題のもう1つのポイントである式(1)の条件も導き出されるので、式(1)の条件を解答に加え忘れるミスも無くなる。

(解答おわり)

(補足)
 解の公式や判別式に機械的に数値をあてはめて計算する計算は、同じ数を掛け算した後でまたその数で割り算するといった余分な計算が多く、計算ミスを招きやすい。
 それに対し、上記の計算例のように問題の式に合わせて判別式や解の公式を再導出すると、式が整理されているので余分な計算が避けられ、計算ミスが減る。


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2013年9月28日土曜日

計算ミス対策:数学本能を覚える(11)



計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。

 例えば、以下のような分数式を見たら、「先ずは、右辺のように数式を移し変えたい。」という数学本能を覚えると良い。
数式は、先ずはやさしい形に移し変えて、それから計算するようにしましょう。


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2013年9月26日木曜日

計算ミス対策:図形を覚える(10)



計算ミスを無くす方法
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 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。
例えば、以下のような図形の性質を覚えておくと良い。
(重要)この関係を知らないと解くのが難しい問題が出題されたことがあります。
そのため是非、覚えるようにしましょう。


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計算ミス対策:図形を覚える(9)



計算ミスを無くす方法
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 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
 的確なアドバイスと思います。
例えば、以下のような図形の性質を覚えておくと良い。
(重要)この関係を知らないと全く問題が解けない場合があります。
必ず覚えるようにしましょう。


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2013年9月25日水曜日

計算ミス対策:図形を覚える(8)



計算ミスを無くす方法
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とにかく計算方法をどんどん覚えること
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 的確なアドバイスと思います。
例えば、以下のような図形の性質を覚えておくと計算が楽になり計算ミスが少なくなります。


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2013年9月23日月曜日

計算ミス対策:グラフを覚える(7)



計算ミスを無くす方法
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 このサイトでは、計算ミスを少なくするための1つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
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 的確なアドバイスと思います。
例えば、以下のようなグラフの性質を覚えておくと計算が楽になり計算ミスが少なくなります。







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ベクトル方程式で空間図形の面と直線の交点を求める



大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問1】以下の空間図形の線分OBと、三角形DEFが張る面βとの交点Gの位置ベクトルをもとめよ。
 なお、ベクトルOAをベクトルaとし、ベクトルOBをベクトルbとし、ベクトルOCをベクトルcとする。
 そして、点Dは線分OAを2:3に内分する点、点Eは線分ACを2:1に内分する点、点Fは線分BCを1;2に内分する点である。

【解答方針】
 ベクトル方程式の問題は、
「3次元空間の全てのベクトルは、3つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、3つの基本ベクトルを決めて、その3つのベクトルで全てのベクトルをあらわす。
 位置ベクトルの問題は、その基本ベクトルの係数を計算することに帰着させる。



【解答】
3点D、E、Fの位置ベクトルを以下の式1から3であらわす。

線分OBと面の交点Gの位置ベクトルは、以下のベクトル方程式であらわせる。
このベクトル方程式を解くと、以下の式(4)から式(6)が得られる。
この連立方程式を解いて、係数xを計算する。
(解答おわり)

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2013年9月22日日曜日

計算ミス対策:3点を通る放物線の式を求める(6)




3点を通る放物線の式を求める式は連立方程式を解くことで放物線の式を求めます。しかし、連立方程式は、計算ミスし易いので、連立する式の数が少ない方が良い。
 以下で、連立する式の数を減らす、微分を利用する方法を説明します。

放物線の点の傾きy’は、その点のx座標がΔxずれると以下の式のようにΔy’ずれる。
また、上図の放物線で、線分ABと同じ傾きの放物線上の点のx座標は、線分ABの中点のx座標であることがわかっている(覚えておいてください)。

【問題】
 3点A(1,15)、B(2,41)、C(3,81)を通る放物線の式
y=ax+bx+c (式1)
を求めよ。

【解答】
 以上に示した微分を利用した式を使って以下のように計算する。

これでaの値がわかったので、このaの値を放物線の点AとBでの式に代入して以下の2つの式の連立方程式を得、それを解くことで係数bとcを求める。
求める放物線の式は以下の式である。

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