2013年8月15日木曜日

三角形の面積をベクトルで分解して計算する


佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

以下の内容は、高校の検定教科書では教えないことになっています。多分、これを教えると、その説明が分からない人が続出して、先生までも分からなくなる恐れもあり、学校にとってとても危険な教えだから、教える事が禁じられているのかもしれません。
そのため、以下の内容は禁止された教えであるので、この教えを知っている事を隠して生活するのが望ましいのではないかと考えます。

また、以下の内容が理解できなくても、それは、”正常”な人のあかしですので、理解できなかったからといって、決して、理解できなかった事を恥じたりしないで欲しい。また、理解できないからと言って、決して、理解できた人を迫害したりしないで欲しいと思います。
(なお、3Dゲームのソフトウェアを作るには、以下で説明する外積が必須知識だそうです。そのために外積を使うには、公式だけ覚えれば十分みたいですが。)

【課題】下図のように頂点の1つが原点Oにあり、他の2頂点が、A(a,a)とB(b,b)である三角形BOAの面積を計算する。
 三角形の辺を成すベクトルを分解して、その分解したベクトルで作った複数の三角形の面積を足し算することで、三角形の面積を計算する。
 上図のように、2つのベクトルの成す平行四辺形DBOAの面積をベクトルの掛け算(×)であらわします。
このベクトルの掛け算のことをベクトルの外積と呼びます。

(注意)
 ベクトルの外積の定義を厳密に言うと、
「2つのベクトルどちらにも垂直な方向(この図の場合は紙面に垂直な方向)のベクトルを計算すること。そのベクトルの長さは、平行四辺形DBOAの面積にする。」
です。
 平面(紙面)上のベクトルの外積を計算した結果は、いつでも紙面に垂直なベクトルで、その方向が変わることがありません。
そのため、以下の説明(計算)では、そのベクトルの長さをベクトルの外積であるものとして、ベクトルの外積を利用して計算をします。

三角形BOAの面積Sはこの平行四辺形DBOAの面積の2分の1です。

三角形BOAはベクトルOBとベクトルOAで作られる三角形です。

この三角形を作る2つのベクトルのうちの1つのベクトルOAを、下図のように、2つのベクトルに分解します。
すなわち、ベクトルOAを、ベクトルOM(単位ベクトルxのa倍)とベクトルMA(単位ベクトルyのa倍)に分解します。

上図のように、分解されたそれぞれのベクトルを使って2つの三角形を作ります。
1つ目の三角形は、ベクトルOM(単位ベクトルxのa倍)とベクトルOBで作られる三角形BOMです。
2つ目の三角形は、ベクトルMA(単位ベクトルyのa倍)とベクトルME(=ベクトルOB)で作られる三角形EMAです。
上図を見ると、その2つの三角形の面積の和が三角形BOAの面積になっていることがわかります。

ただし、ベクトルOMとベクトルOBで作られる三角形BOMは正の面積ですが、
ベクトルMAとベクトルME(=ベクトルOB)で作られる三角形EMAは負の面積を持つものとします。

この2つのベクトルで作られる三角形の面積が正であるか負であるかの区別は、三角形を作る2番目のベクトルが1番目のベクトルよりも左回りに回転した方向を向いていれば面積が正であり、右回りに回転した方向を向いていれば面積が負であるとして、区別します。

下図のように、それぞれの三角形を面積が同じ直角三角形に変形します。
三角形BOMは直角三角形NOMに変形し、
三角形AMEは直角三角形AMF変形します。
こうして、それぞれの三角形の面積を計算します。
以上のように、元の三角形を構成するベクトルを分解することで三角形を2つに分解して、その2つの三角形の面積の和で元の三角形の面積を計算することができることが確認できました。

なお、上図では、ベクトルOAをベクトルOMとベクトルMAに分解しましたが、ベクトルOAをその他のどんなベクトルの和に分解した場合でも、それらのベクトルが作る2つの三角形の面積の和は必ず三角形BOAの面積になります。

 以上の計算は、以下の式のように単純なルールに基づいて計算できます。
(1)ベクトルxと、(同じ)ベクトルxが作る平行四辺形は1本の線分につぶれていますので、その面積が0です。
(平行な2つのベクトルが作る平行四辺形の面積は0です。)
(2)ベクトルの順番を入れ替えて外積を計算すると、そのべクトル同士の回転方向が逆回りになるので、面積の正と負が逆になります。

上のベクトルの外積の計算は、三角形BOAがどんな形の場合であっても計算結果が変わらず、
三角形の面積S=(a-a)/2 (式1)
となります。
すなわち、どんな三角形の場合でも成り立つ式(ただし、面積が負になる場合もありますが)です。
そのため、どんな三角形の場合でも上の式が成り立つことが証明できました。

上の式1でクロス積の形をした部分は、行列式とも呼ばれています。

【追加:以上の式から三角関数の加法定理を導き出せる】
以上の証明は数学的な厳密性があるので、この結果を利用して、以下のようにして、三角関数のsinの加法定理を導き出すことができます。

この三角形を下図のように、偏角αとβ(頂点の角度θ=β-α)と辺の長さsとtであらわす。
=s・cosα
=s・sinα
=t・cosβ
=t・sinβ
先に得られた式1は、以下の式に書き直せる。
△BOAの面積S
=s・t(cosα・sinβ-cosβ・sinα)/2 (式2)

一方、2辺と侠角θ=β-αで三角形の面積が計算でき、その面積は、以下の式であらわせる。
△BOA
=s・t・sinθ/2=s・t・sin(β-α)/2 (式3)
式2と式3から、以下の関係が成り立つ。
sin(β-α)=cosα・sinβ-cosβ・sinα (式4)
この式は、後に学ぶ、三角関数の加法定理です。
この、三角関数の加法定理を覚え易い形の式に直すと、以下の式になる。
sin(β+γ)=cosγ・sinβ+cosβ・sinγ

リンク:
第2講4節 点と直線の距離(三角形の面積)
追加講 三角形の面積と行列式
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