2013年8月9日金曜日

第2講3節 2つのベクトルの成す角のsin



佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強


【問題】上図のように、絶対値が1の2つのベクトル
 


があるとき、
その2つのベクトルの成す角度θのsin(θ)を求める。
ただし、
ベクトル の偏角はαとし、
ベクトル の偏角はβとする。

なお、ベクトルOWの成分W,Wと、ベクトルOSの成分S,Sとαとβとθの間には以下の関係があります。
θ=β-α
=cosα
=sinα
=cosβ
=sinβ

cos(θ)が余弦定理で求められるので、それを利用してsin(θ)を求めるのが正式な求め方ですが、
ここでは、三角関数の加法定理が先にわかっているものとして、
その定理を使って、sin(θ)を求めます。
その方法では、簡単にsin(θ)が求められるので、その手順を覚えておけば
ベクトルのなす角度のsin(θ)をαとβであらわす公式を簡単に覚えられます。

三角関数の加法定理のsinの公式は、以下の覚え易い式です。
sin(β+γ)=sinβcosγ+sinγcosβ (式1)
ここで、
β+γ=β-α=θ
として、式1を、βとαによる式に置き換えます。
sin(β-α)
=sinβcos(-α)+sin(-α)cosβ
=sinβcos(α)-sin(α)cosβ
∴sin(θ)=sinβcosα-sinαcosβ
sin(θ)=S-W (式2)
式2を覚えるために上の絵を書いて覚えるようにすると、覚え易いです。

ベクトルのなす角のsinの公式(式2)を、以上の手順で素早く導き出せるように、以上の導き方を覚えておきましょう。
そうすれば、覚えにくい、ベクトルのなす角度のsinの公式が、覚えやすくなります。

(式2を直接思いだすときの注意)
式2の公式を(式1)から導き出さずに、直接(式2)の形の式を思い出したときには、
公式の正と負とを入れ間違える事が多い、とても間違え易い公式なので、
思い出した公式が正しいかどうかを、以下の図の場合でたしかめてください。
この図のW(1,O)とS(0,1)の場合に、正しい答え(=1)が出るかどうか、公式2を思い出す毎に確かめてから、公式を使ってください。
面倒ですが、間違え易いので、このような検算をやるしかないと思います。

この検算をやるしかないので、いっそのこと、
 上の図のように検算方法を組み込んだ図を覚えて、この公式の(式2)を思いだすようにした方が良いと思います。

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