2013年8月9日金曜日

第3講 ベクトルの内積(直線の式)



佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強


上図のように、互いに垂直で絶対値が1の2つの単位ベクトル を考える。
上の図の、直角三角形OABの、単位ベクトル に平行な方向の辺OBの長さ、および、単位ベクトル に平行な方向の辺BAの長さは、それぞれの単位ベクトルと頂点Aの位置ベクトル(OA)との内積で計算できます。

(1)線分OBは、ベクトルOAの、単位ベクトル の方向の、点Oを通る直線への正射影であり、
(2)線分BAは、ベクトルOAの、単位ベクトル の方向の、点Aを通る直線への正射影です。


上図のように、点A(x,y)を通る直線であって、単位ベクトル に垂直な直線、と原点Oとの距離hは、
単位ベクトル と点Aの位置ベクトルの内積であらわせます。
その内積の式を展開すると、直線をあらわす式
h=x・cosθ+y・sinθ
になります。
逆に、上の式のように、単位ベクトル の成分cosθとsinθをxとyの係数にした直線の式では、残りの係数hは、直線と原点Oとの距離をあらわす式になります。

【補足】
実は、ベクトルでは、以下の(その1)の式のように、パラメータtを使ってあらわした直線の式(その1の式)があります。
(その1)の直線の式を、以下のように、ベクトル との内積をした式に変形すると、先に示した直線の式(その2の式)に変わります。



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