2013年8月25日日曜日

ベクトル方程式による極と極線



「大学への数学」の勉強

【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A(a,a)から引いた2つの接線の円との接点BとCを結ぶ直線を、
その直線上の点Qをあらわすベクトルと点Aをあらわすベクトルを使ったベクトルの式であらわせ。

ここで、線分OAの長さをaとする。

なお、接点BとCを結ぶ直線を、点Aに対する円の極線と呼びます。

一方、線分BCと円の交点BとCから引いた円の接線の交点Aを、直線BCに対する円の極と呼びます。

【解答】



(予備知識)
平面ベクトルの問題では、
「平面上の全ての点が、2つの独立なベクトルを(係数を掛け算して)合成することであらわせる」
という原理を利用して問題を解きます。

この問題では、ベクトルOBとベクトルOCで直線BC上の任意の点Qの式を以下の式であらわします。

ベクトルであらわす直線の式はもう1つのあらわし方があり、
それは、直線の式(3)に、その直線に垂直なベクトルを(内積で)掛け算した式です。 そのため、試しに、多分BCに垂直と思われるベクトルOAを式(3)に掛け算して、どうなるかを調べてみます。

上の計算で、式(1)と(2)を代入して使いました。

式4は、任意の点Q(パラメータtの任意の値で)に対して成り立つ直線の式になりました。

式4を展開すると、以下の式4’になります。
そのため、この式4が求める直線をあらわすベクトルの式です。
(解答おわり)

なお、試しに掛け算したベクトルOAによって、直線の式(3)が、パラメータtがあらわれない直線の式(4)に変わったので、ベクトルOAがこの直線に垂直なベクトルであることも確かになりました。


【補足】
極A(a,a)が円上にある場合、式4で与えられる極線は、点Aで円に接する接線の式になる。


なお、極A(a,a)が円の中に入ってしまうと、点Aから円に接線が引けないハズなので、極線が無いと思うかもしれませんが、式4は、点A(a,b)が円の中であっても定義できる。
高校では教えないが、円の中の点も円と複素数の接点で接する。そのため、例えAが円の中でも、式1であらわされる極線が存在する。極線というのは、そういう広い概念の中で定義される大事な概念の直線です。


リンク:
点Pを極とする円の極線の作図サイト
高校数学の目次
複素数平面での円の極と極線

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