2013年8月22日木曜日

ベクトル方程式の直線の交点



佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

【問】
以下の図のようにベクトルであらわした2直線の交点のベクトルを求めよ。
ただし、直線1に垂直な単位ベクトルをcとし、直線2に垂直な単位ベクトルをdとする。


【解の方針】
 平面上の任意のベクトルは独立な2つのベクトルであらわせます。
この原理を利用して、
(1)先ず、求める交点をどの2つのベクトルであらわすかを決めて、
(2)次にその各ベクトルの係数をベクトル方程式で解くと
スムーズに解答を求めることができます。

【解答】
 以下の式(5)のように、直線1と直線2の交点を、2つの独立なベクトルqとgとであらわすことにする。


 この式(5)に、直線1に垂直な単位ベクトルcを掛け算した式をもとめる。

その結果、係数wが(6)であらわせた。

 式(5)に、直線2に垂直な単位ベクトルdを掛け算した式をもとめる。 

その結果、係数uが(7)であらわせた。
(6)(7)により、交点の位置ベクトルをあらわす式は、以下の式(8)になる。

(解答おわり)

この解の図形的な意味は、下の図のようにあらわせる。


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