2013年8月15日木曜日

分点の位置ベクトル(三角形の重心の公式)



佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

【問】三角形の重心の位置をあらわす公式を、ベクトル方程式を用いて、三角形の辺の中点と頂点を結ぶ2つの線の交点の位置を計算することで導け。

 これは、その交点をGとして、以下の図のようにして、点Aが原点Oにあるとして、2つのベクトルOBとOCと2つの変数 t,uを用いたベクトル方程式を用いて、求めます。
(注意)この図では、ベクトルで頂点を表す必要から、ベクトルBの長さABを長さbとします。高校1年で頂点Bに対向する線分CAの長さをbと名付けていたことから変わっています。

先ず、重心Gに至る2つの経路について、ベクトルを足し合わせて重心Gの位置ベクトルを計算します。
次に、この2つの位置ベクトルGを等しいとしたベクトル方程式を立てて、計算します。
位置ベクトルB=OBと位置ベクトルC=OCとは異なる方向を向いているので、そのベクトルの和が0になるためには、各々のベクトルOBとOCの係数が0の場合に限られる。
そのため、以下の式がなりたつ。
 この式2を解くと式3が得られる。
 式3を式1に代入して計算する。
これで、重心の位置ベクトルGを表す式が得られた。

次に、点Aが原点Oで無い任意の位置にある場合を計算する。
これは、上で得られた公式を以下のように書き直して計算する。
以上のようにして、三角形の重心はその3頂点の位置ベクトルの和の3分の1になるという、重心の位置の公式が導きだせた。

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