2013年7月28日日曜日

(5)複素数平面での円と直線の交点


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大学への数学(旧数B:複素数)の勉強 

【問1】
下図のように複素数平面に、原点を中心とする半径1の円がある。
そして、複素数平面に描いた直線上の点をあらわす複素数z=x+iyとあらわす(xとyは実数とする)とする場合に、直線上の点のxとyの関係がax+by=1であらわされるものとする。
その直線とその円との交点BとCの点をあらわす複素数を求めよ。


(解答)
この直線は、実数のパラメータtを使って、上式(1)であらわせる。
(1)は以下の式(2)に変形できる。

この直線はパラメータtの係数の複素数のあらわすベクトルの方向に伸びる直線である。この直線は傾いているので、全図形を原点を中心にして回転させて形を整えて問題を解くことにする。
その回転をさせるには、以下の式で定義される絶対値が1の複素数wを複素数平面上の点をあらわす複素数zに掛け算することで図形を回転させることができる。

以下のようにwを掛け算して整えた図形で答えを求めたら、答えの点に(1/w)を掛け算して、点の位置を逆回転させればよい。

この直線の式(4)は実数パラメータtの係数が実数であるので、以下の図のように整った図形である。
この図形での直線と円との交点は以下の式のように求めることができる。

この答えに1/wを掛け算することで、図形を逆回転させて元の位置にもどすことができる。その1/wは以下の式であらわせる。

この1/wを式(7)(8)に掛け算することで元の回転位置での図形の交点の座標を与える式(10)と(11)を得る。

(回答おわり)




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